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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名）：湖南工学院参赛队员（打印并签名）：1.李鹏飞2. 黄冠文3. 谭晓希指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：周斌老师日期：2011年8 月19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：关于产品的质量控制与成本核算问题的研究摘要本文主要对产品的质量控制与成本核算进行了探讨。基于单位产品单价及加工成本 两种两种因素，问题可归纳为产品的平均利润最大化的非线
3、性优化问题。针对问题一：通过对问题的合理理解和分析，我们列出了最大利润方程，即maxF=P-（C/k+P3）。因为本题中零件参数是服从独立均匀分布的随机变量，为此建立二 维随机变量概率密度模型，利用其解析性质求最优解。随后，我们确定了随机变量X,Y 的概率分布密度表达式，列出了二维随机变量（X,Y ）的联合分布密度，并用卷积公式zz求出了 Z 的概率密度，利用（1 - k）X ： x ： （1 k） X0和（i k）y0 : x ”：帀-k）y0 范围限制作图求出Z不同区间内的概率密度函数。然后根据参数值Z与目标值1的偏差 Z-1确定正、次、废品的范围，对Z进行积分，得到了正频率与废品率，它们
4、都是关于 k的函数。最后是带入原利润方程求解，求解过程中需要根据不同的Z值所采用的积分式进行讨论，最终通过lingo的编程，求得了在利润最大的情况下所使用的加工精度 k=0.110473，并进而优化搜索得到了应该采用的标定值Z0=0.992108。最终得到最大利润 1735.04 正品率 0.742586 次品率 0.257414。针对问题二：在第一问的基础上，我们得到了利润与Z,C,K的函数关系式，在利润等于零的情况下，使用lingo进行编程计算，获得了 C的值为7.17382 。关键词：零件参数 优化问题边缘分布 联合概率一.问题重述某厂计划大规模生产的一种产品由零件A及零件B组成，设零件
5、L的参数X 0与零件B的参数Y 0是独立的均匀分布的随机变量，产品的参数Z二f(X,Y)二XY目标值 是1当产品参数值Z与目标值1的偏差Z -1在一 r1，( r1=1/100)之内时是正品；偏差在 -r1到二r2之间时是次品，r2=2/100;偏差在二r2之外是废品.正品的市场价单价是 P1=4000(元),次品的市场价单价是 P2=3000(元),不算加工费时各种成本折算后每件的 成本为P3=2000(元).为了成本核算,考虑付了加工费后是否值得生产若用相对精度为 k, (0k1)的机器加工这两个零件，设X的标定值是Xc 0，最大偏差_kX。，丫的标定 值是丫0 .0,最大偏差_kY。.已
6、知每个零件的加工费用与 k成反比，比例系数都是常数 C.每月的原材料量是固定的请完成以下任务(1) .当C=0.833292时,求Z的标定值ZoMoYo ;以及使得单位产品的平均利润达到最大的加工精度k;并求出单位产品的平均利润达到最大时的平均利润、正品率及次品率.(2) .当C的值多大时最大的平均利润等于零(各数值最终结果舍入精确到6位有效数字)二.模型假设与符号说明2.1模型基本假设1 、生产的产品能够全部售出。2、对同一种零件，其参数值的最大偏差值只于自身标定值大小有关。3、每件产品原材料量固定。4、每月的原材料充足，能够保证完成当月生产计划。5、零件的标定值在其允许范围内可连续变化，不
7、考虑其他情况。6 、产品参数Z与零件参数的关系只由题中所给公式决定，与其他因素无关7 、各个零件的标定值和偏差相互独立。8 、与正次品相关的偏差值r1、r2为定值，不因其他因素改变。2.2符号说明在该符号系统中，i可取1、2、3对应的L分别代表正、次、废品Z。产品参数的标定值X零件L的参数X。零件L的参数的标定值Y零件B的参数丫。零件B的参数的标定值ri正品的参数值与目标值的最大偏差值次品的参数值与目标值的最大偏差值P产品的平均市场价单价Pi正品的市场价单价P2次品的市场价单价P3不算加工费时各种成本折算后的每件成本M单位产品的加工总成本k零件的最大偏差与其标定值的相关比例系数C每个零件的加工
8、费用与 k的比例常数Li正次品率F利润函数fxX的概率密度函数fyY的概率密度函数3.1相关关系图表三问题分析息，得到种偏差（表一）勿品产品L零件B零件（表一）从题目中获取信 上面的产品在各 下的定义表格如参数Z = XYXY标定值Zo=Xo YoXoYo(表二)从题目中可提炼出产品、L、B零件的参数和标定值如(表二)3.2关于问题的分析问题主要是对单位产品平均利润进行求解，平均利润由产品单价及加工成本决定。 基于以上两种因素，问题可归纳为产品平均利润最大化的非线性优化问题。对产品的质量控制及成本核算需要进行零件参数设计，就是要确定它的标定值和偏差值。偏差值越小，质量损失越小，加工费用越高，市
9、场单价越高；偏差值越大，质量 损失越大，加工费用越低，市场单价越低。故进行参数设计时要综合考虑加工费用和市 场单价，使平均利润最大。平均利润=(总的销售利润-成本”产品个数本题中零件参数是独立的均匀分布的随机变量， 对此建立二维随机变量概率密度模 型，并得到边缘概率密度和联合概率密度的相应关系式，利用其解析性质求最优解。四. 模型建立与求解4.1问题一模型建立过程：1、产品的平均市场单价P=吐+強2 + 0沢l3平均市场单价由正次品率决定，而正次品率又由产品参数值对目标值的偏差决定。因此对零件进行最优化参数设计。本题中零件L、B的参数X, Y是独立的均匀的随机变量，偏差值在允许范围内连续分布，
10、建立二维随机变量函数的概率密度模型：求出X的均匀分布概率密度为：2kXo ,(1-k)XoX：(1 k)Xof X 二0, X 兰(1k)X0 或 X 织1 +k)X0求出丫的均匀分布概率密度为：丄2kYo ,(1 -k)Yo :：:Y ：:(1 k)Yof Y 二0 ，丫兰(1 k)Yo 或丫 3(1 +k)Yo求Z=XY的概率密度分布函数：(过程如下)设(x,y )的密度函数为f (x,y ),则Z=XY的分布函数为:Fz z 二 P ： Z 乞 z = PXY 岂 z，f x, y dxdyxy_z令 u=X,v=XY 即 X=u, Y=v/u则雅可比行列式为:cXdY uc ucXdY
11、dvdv于是代入上式得f U,*vZzdudvf (u,-V)|du dv因为 Fz z = fz z于是有:oOf(U,u) u du当X和Y相互独立时有:fx X fy f f|dXX的均匀分布概率密度与 Y的均匀分布概率密度中 X、Y的范围得:(1 - k ) X ： x ： (1 k ) X 0(1 一 k)Y。 ： y :：: (1 k)Y。得：(13 (1 k)Yzz所以x(1 k)X(1- k)Y因此X的范围为:(1 - k)X。 x (1 k)XzI (1 + k)Y x(1 - k)Yo利用图像法解x的不等式方程组如下:z(1 k)Y为直线x 二(1 - k)Y为直线x =
12、(1-k)X为直线x = (1 - k)X为直线图2X的范围为直线、围成的区域（如图 2所示）所以2当(k) xoy。z(k* 2) Xoyo(1- k)Xo ： Xz(fy。所以1 fX X fy女|dx14k(1-k)x |Lxyz2 In 24k X)yo(k) Xoyox 1 k X。当(1k2)XY0 z (1 k2)X 时(1 k)Yfz z -|dxz4k2xy(1 k)yo(1 k)xo Lx亠4k z (1 k) x)y综上所述:1 In z ， k 2 XoYo 1 0.011-0.011002CCCCCCCmaxF 二 4000fz Z dZ 3000fz Z dZfz Z dZ 0- 3292 20001_0.011_0.02H0.01K约束条件：S.t厂0 k
