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1、实用文档简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL模拟北京东之星 应用物理研究所伍 勇1. 引言COMSOL携带的案例库里，其中一篇Bandgap Analysis of a Photonic Crystal（以下简称 Bandgap ）对碑化镓简单正方格子 2D光子能带进行了完整计算和研究。本文将程序用于简单六方结构, 并将结果在此做一介绍。 2. 关于Floquet （弗洛盖）波矢kr这是入门COMSOL光子晶体能带模拟的重要概念，在另一案例 Porous Absorber中，在Floquet周期性边界条件一段写明： p（ x ） = p（ x + d ）e-任d）由此我判断Floquet
2、波矢就是Bloch （布 洛赫）波矢，但“帮助”文档中有： k F = sin a1（ a1 cos a 2 + n x a1 sin a 2 ），以正格子基矢 气,a2 表示 （其文没有任何几何插图和物理说明），使我决定必须在六方格子中 选择矩形单胞作为周期单元，以使计算机程序能够运行我的几何方 案。3. 几何建模图1作为试探选择的几何模型，圆形柱代表以GaAs作为格点材料,标准文案是晶格在空气介质中周期性排列，形成二维六方结构人造晶体。a常数。矢量aaai2b广2(3a二2兀 a(a2 x a3)a3 x %ai - (a2 x a3)Z是z方向的单位a2 x0图1.六方格子光子晶体的矩形
3、单胞以上根据倒格子基矢定义计算出b, b2及其分量。由倒格子基矢b1, b2 ，构建长方格子的布里渊区也是长方结构如图2：/k xXr/ /，隹文案j 一 一/标7图2.六方结构光子晶体的布里渊区4.二维光子晶体主方程COMSOL在 Bandgap 模型开发器”电磁波，频域写出方 程形式如下：Vx-i(Vx E)-峪侣r -JjL)E = 0，在 Bandgap 中，下面目录波方程，电中直接简化为，Vx(VxE) k2 rE = 0电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程，上述方程可由麦克斯韦方程组出发导出介质中的麦克斯韦方程组V-D = p (1) V-B = 0 (3)Vx E = WB
4、(2)Vx H = J + D (4)金dt-D = E，B = r H，J =bE在电介质中一般认为自由电荷，自由电流密度(电导率)为零。本文档不考虑磁性质，p = 0， J = 0， p r =1传播模态电场函数 COMSOL 表达为：E(x,y,z,t) = E(x,y)e 次乙仙 t (5 )，在周期结构中，它应具有Bloch波的性质，不考虑衰减损耗。注意 这里次上标的符号与我们习惯的教科书里正负符号相反。实用文档由(2)两端取旋度，将(4)代入得:-a2 EVx(VxE) = m ,绝缘介质 k2 =s2口8 ,at2k 2 = 2808 r 口0 r f 8 r r = k0 n
5、2， c0折射辄=/待自=叮，r = 18 r = n 2，7 k0=%80% =一为真空波数，应用(5),c0如期得到前面提到的 Bandgap 中的假设波方程：Vx ( Vx E ) k 0 n 2 E = 0利用 Vx(VxE)= v(v-E)v2E = v2EE偏振时(又称横磁场模式湖)对应的二维光子晶体主方程是:a2a2这里电场方(+ )Ez( x,y) + n 2 k2 E优 x,y) = 0 (6)向平行于z轴，而磁场方向只分布在x-y平面内。二维光子晶体主方程(6 )是计算光子能带的出发点和源依据。5.折射率色散函数n(f)n( f )是COMSOL计算能带的第二个关键点,描述
6、折射率随频率参 量f的变化。格点材料碑化镓的n( f )，在 Bandgap 有如下定义 n_GaAs=3.3285e5s/ m*c_const/f+3.5031，参变量 f,单位 Hz；下 限：0，上限：1c_const = 299792458m/s表示真空光速，我在软件Mathematica上化间这个函数，给出n_GaAs = 3.5031 + 9.97884* 10A13/ f，并绘制图 3 如下:标准文案图3.光子晶体GaAs的折射率随频率的变化经COMSOL计算机程序进行求解，得到E偏振情况下2D介质（GaAs） 光子晶体能带结构。6. 光子能带图（选取能量最低的5个能带）（1）沿布
7、里渊区10方向（T K）（图2）:（2）沿布里渊区01方向（T M）:00.10.20.30.40.5k44.8.6.42.2.2.41O1X2 4 8 6 44.3.3.3.NH) Aouonbeilj01 band (hexagonal)0414248642386422864 4.4.3.3.3.3.2.2.2.2.LLLnh) AU仁当 boLl_*b&nd=l, Frequency band=2, Frequency band=3, Frequency ba nd=4, Frequency band=5, Frequency0.10.20.30.40.5k7. 电场传播模态Z分量Ez（
8、x,y）的平面图和高度图（2）:A 10,band=1（平移组合了 6个单胞图）B 01,band=5band(5)=5 k(51)=0.50： Electric field, z component (V/m)8. 讨论作者又在文献 “Bandgap And Field Propagation Analysis UsingPhotonic Crystal(International Journal of Innovative Research in Computer andCommunication EngineeringAn ISO 3297: 2007 Certified Organization Vol.3, Special Issue 1, )ebru看到晶体 周期单元适合计算机运行的相同本文的图示:受到启发：计算机看自然可能不会拘于人类目光所决定的一种格式， 晶体状态也会有它本身具有的所有高低不同对称性和不同的能量范 围的本征态。AlphaGo人机大战挑战人类的思维。如果以往在试题中 出现选择矩形为六方晶格的布拉菲格子单胞的答案，一定不给分数 的，但自然本身却有更大的包容和可能。致谢百度文库，百度学术，道客巴巴的文献支持及小木虫生动深入 有益的学术讨论。作者仅在此抛砖引玉。
