年 级初三学 科数学版 本湘教版内容标题正弦、余弦和正切编稿老师阳矩红【本讲教育信息】教学内容：正弦、余弦和正切［教学目标］（一） 知识与技能1. 了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用 sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边之比2. 熟记30 °、45 °、60角的正弦、余弦、正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角三 角形的边长，会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角3. 了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系4. 会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值二） 过程与方法：经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体验学习的乐趣三） 情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习自信心［教学重点］1. 正弦、余弦、正切的定义2. 特殊角30 °、45 °、60的正弦值、余弦值、正切值3. 互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系［教学难点］1. 锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算2. 综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边［主要内容］1. 正弦、余弦、正切的定义:(1) 如图，在 Rt △KBC中，锐角A的对边与斜边的比，叫做/ A的正弦。
2) 在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做/ A的余弦3) 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做/ A的正切当锐角A确定后，这些比值都是固定值2. 特殊角30 °、45 °、60的正弦值、余弦值、正切值如图，在 Rt△KBC 中，/ C= 90 ° ,zA = 30设 BC= k,贝U AB = 2k用同样的方法可求 45 °、60角的三角函数值3. 互为余角的正弦、余弦之间的关系:•'si nA = cosB语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值4. 同角的三角函数之间的关系:5. 0 ° -90间正弦值、余弦值、正切值的变化规律: 在0 °-90 °间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）6. 会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值典型例题】例 1.已知△ABC 中，AC = 7, BC= 24 , AB = 25,求 sinA , cosA , tanA , sinB , cosB , tanBABC是直角三角形分析：根据正弦、余弦、正切的定义知，应首先判断△解：VAC = 7 , BC = 24 , AB = 25•••念BC为直角三角形，/ C = 90 °由互余角的关系得:例2.分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。
法一：如图解：由勾股定理得：AC = 12k法二：解：又/A为锐角，cosA > 0变式训练：边c的长提示：可引进参数法例3•计算：分析：略解：例4.分析：把条件式看作关于sin a的一元二次方程，利用解方程求出 sin a,再确定a的值解:［练习］求适合条件的锐角:答案：(1) 30 ° ( 2) 30 ° (3) 70 ° (4 ) 30 °例 5.如图在 Rt△ABC 中，/ C= 90 ° ,BC= 5 , AC = 61 )求 si nA , si nB 的值2)过点C作CD丄AB于D，求cos /ACD的值分析：(1 )利用正弦定义来解决ZACD转化为/ B则非常简便解：(1 )在 Rt△ABC 中，/ C= 90 ° , BC = 5, AC = 6(2 )vZACB = 90 ° ,aA + ZB = 90又 CD 丄 AB 于 D , a/ACD +ZA = 90 •••zB =/ACD例6.分析：根据条件知：△ ABC不是直角三角形，应添加辅助线，构造直角三角形解：过C点作CD丄AB于D，设CD = x在 Rt △ACD 中，/A = 30 °•'BD = 3xx= 1【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、填空题：1. 求值： 2. 在 Rt △KBC 中，/C = 90 ° ,a = 1, b = 2，贝U cosA = 。
3. tan 10 ° tan20 ° tan30 ° tan70 ° tan80 ° = 4. △ABC 中，/ C= 90 °，若 ，贝U tanB = 5. 6. = 7. 在 Rt △KBC 中，/C = 90 ° , ，则/A = 8. 已知等腰三角形 ABC的腰长为 ，底角为30 °，则底边上的高为为 、选择题:9.在△ABC中，若是（ ），/A、/B都是锐角，则/ C的度数A. 75 °B. 90 °C.105 °D. 120 °10.当锐角A >45 °时，sinA的值（ ）A.小于B.大于C.小于D.大于11.已知，则=()A. 30 °B. 60 °C. 45 °D.无法确定12. 下列结论中不正确的是（ ）A.B. 中，/ C= 90贝UC. Rt△KBC 中，/ C= 90贝UD. Rt AABC 中，/ C= 90 °,AC = b，贝U13. 如图CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角 （入射角等于反射角），AC丄CD , BD丄CD，垂足为C、D，且AC = 3 , BD = 6 , CD = 11，贝U=（ ）A.B. C.D.14.如果/A为锐角，且，则( )A.B.C.D.15. 如图 Rt△KBC 中，/ACB = 90 °,CD 丄 AB 于 D，若 AC = 4 , BC = 3，贝U sin /ACD =( )A.B. C. D.三、解答题：16. 计算:(1)。
求/B及a、c的值17. 如图 Rt△KBC 中，/C= 90 ° ,b = 8 , /A 的平分线 AD18. 如图在等腰△ ABC中，AB = AC,若AB = 2BC，试求/ B的正弦值和正切值19. Rt △KBC中，/C = 90 °，方程 有两个相等的实数根,斜边为c,方程 也有两个相等的实根，求这个直角三角形的三边的长20. 如图在△ ABC中，AD是BC边上的高，tanB = cos ZDAC1)求证：AC = BD2 )若，求AD的长试题答案】「、填空题：1.2.3.4.5.6. 507. 30 °8.【、选择题：9. C10. B11. B13. D14. D15. C三、解答题：16.解：(1)(2)原式=12. C17.解：在 Rt △KDC 中，AC = 8 ,又•••JDAC = 30 °又AD平分ZBAC/•zBAC = 60 °，启=30 °又b = 8•'c = 16 , a =18.解：如图，过 A点作AD丄BC于D••AB = AC , AB = 2BC设在 Rt △KBD 中,19.解：••方程有两个相等的实根又方程 也有两个相等的实根••C = 1 （负值舍去）•//C = 90 °，•在Rt △KBC 中20. (1 )证明：在 Rt △KBD 和 Rt △XDC 中,••BD = AC(2 )在 Rt △XBC 中，由 ，设 AD = 12k，贝U AC = 13k•'•CD = 5k由(1 )知，BD = AC = 13k，又 BC = 12• • ,••AD = 8。