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1、分数的意义和性质作业设计一、教材分析分数是有理数中至关重要的概念，是小学生学习的一大难点，本单元教材分析从整体理解分数的多种意义、梳理人教版教材体系、本阶段分数意义的深度把握三方面来展开。1. 整体理解分数的多重意义分数意义的丰富性造成了我们学生理解分数的困难度，张奠宙（2010）在分数的定义中给出四种分数的定义：份数定义、商定义、比定义、公理化定义。纵观小学阶段的教材，我们认为分数的意义主要是“比、测量、运算和商”四种。“比”是指部分与整体的关系和两个量之间的（比的）关系。“测量”指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果。“运算”主要指的是讲对分数的认识转化为一个运算的过程。“商”主要是指分
2、数转化为除法之后运算的结果。这四个方面相辅相成，共同承担着学生对于分数意义丰富性的认识。2. 梳理人教版教材安排体系小学阶段对于分数的学习要跨越3年级到6年级，人教版教材的体系安排分为表1这样几个阶段，二年级是认识平均分，为三年级学习分数的“均分”特点打下基础。三年级上学习分数的初步认识，是一种感性认识，五年级下进一步学习分数的意义，建立分数模型。后续的分数运算和解决问题则是分数知识的拓展应用。表1 人教版关于分数的学习教材安排体系表年级单元具体内容目的与方法二年级认识平均分平均分孕伏阶段三年级分数的初步认识几分之一、几分之几、简单计算、简单应用以感性认识为主，借助直观模型初步理解分数的意义五
3、年级分数的意义与性质分数的意义、分数的基本性质、分数与小数互化、分数的加法和减法以理性认识为主，经历抽象概括，深入理解分数的意义，建立分数模型六年级分数的乘除法后续拓展为比和比例、百分数以实践应用为主，进行综合应用，解决分数的相关问题从表1可以看出，教材安排分数的知识体系是从感性到理性再到实践性，而五年级的分数的意义和性质这个单元，对分数的意义又有哪些关键点呢？人教版教材中分数的初步认识都以“率”为主线切入，不涉及量；分数的意义起始课都以“率”这一主线展开，然后逐步加入“量”。而五年级分数的意义这单元的教学，理解分数的的三个关键知识点非常重要单位“1”、分数的意义、分数单位。分析人教版教材我们
4、可以这样来理解这三个知识点：单位“1”：侧重于不同单位“1”下所表示同一个分数，让学生体会分数相同，单位“1”的变化。分数意义：通过对比不同形状、不同数量物体的四分之一，强调把一个整体平均分成四份，这样的一份可以用四分之一表示。分数单位：与分数意义紧密结合，分同一堆糖果得到不同的分数引出分数单位的定义。所以我们可以这样定位：单位“1”不同，分数相同，实际所包含的数量也不同；单位“1”相同，分数不同，实际所包含的数量也不同。本阶段分数意义的深度把握基于上述思考，五年级阶段的分数意义和三年级时是有区别和联系的，具有一定的进阶性，主要表现在以下四个方面。（1）“比”：从数量比进阶到份数比首先看“比”
5、这一项，“比”是指部分与整体的关系和两个量之间的（比的）关系。人教版教材非常重视这个方面的意义，教材上安排的比例这个内容是最大的，整个发展的趋势是从“数量”走向“份数比”。就是平均分成几个就是几份，学生只要数平均分成了几个就是几份，这就是数量比的意义。份数比是每一份不一定是一个，所以要数平均分成了几份。这两者的本质区别就是单位“1”从一个变成了多个，这也是学生认识分数意义的一般进程。五年级学习分数的时候数量比只是简单引入，重点学习份数比这个意义。“比”：从部总关系进阶到两量关系分数作为比的意义还有一个变化是从部分与整体的关系走向两个量之间的关系。部分与整体的关系代表性的是等分关系，即我们每次都
6、要强调的“平均分”，而两个量之间的关系代表性的是比例关系，就是两个量之间的整比例关系。三年级时重点强调平均分，研究的是其中的一部分和整个的关系。五年级平均分只是作为复习形式提到一下，并没有作为重点，重点是多个物体中几份和整体的关系，然后是几份和几份的关系。（2）“测量”：从单位分割进阶到单位累积测量指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果。测量意义更多的可以理解为是量的累加和分割。累加就是分数单位的累加，比如1里面有两个二分之一，四分之三里有3个四分之一，最后走向分数加减法。分割指的是分数单位的产生，不满1时我们可以用分数来表示，怎样表示呢？以一个标准为单位分一分，看它里面有几个这样的标准单位
7、。三年级时首先就是分割，半个蛋糕怎么分出来的？就是分割产生了分数单位二分之一。然后再分割几分之一，不断通过各种分割产生了不同的分数单位，这就是分数测量方面意义的很好体现。要让学生经历分割产生分数单位的过程。而五年级的学习更多体现的是两者的结合，分割再累积。分一分就是进行标准单位的分割，涂一涂的涂几个则是分数单位的累积。最终，要让学生能够把这些操作与分数的意义建立联系，知道分的每一份就是我们说的分数单位，而涂了几份就是有这样的几个分数单位，也就是四分之三里有三个四分之一。（3）“运算”：从分取过程进阶到联系算式“运算”主要指的将对分数的认识转化为一个运算的过程，与分数的运算是有区别的。在三上阶段
8、体现为“分和取的过程”，主要承载的是分数的简单应用。在五下阶段体现为“分和取的过程”，主要表现为与算式建立联系：如四分之三就是143.两个阶段的学习都要不断强调这个分和取的过程，取的动作改为表示这样的几份，因为涉及到后面的假分数，这样表述更为准确。在这样的初始课上，我们不出示这个算式，但是教师必须明白，让学生经历这样的过程，其实就是在讲分数意义中的“运算”。（4）“商”：从表示数进阶到表示结果最后来看“商”这个内容，商主要指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，直白一点说就是分数也是一个数，可以和其它数一样进行运算，可以表示除法的结果。人教版对于分数表示
9、一个数的认识是比较滞后的，三上分数的初步认识里几乎没有涉及到，只是在一开始的二分之一出示时，有一句话表示半个月饼。习题中也没有出现表示数的内容。在五下的第一课时中也没有呈现，而是在分数与除法这个内容中才涉及到。也正因为这样，所以会给学生一个很突兀的感觉，明明已经先入为主知道分数就是“比”，怎么又突然出来一个“数”呢？学生就很难理解。综上所述，我们认为让学生一开始就感知到分数的多重意义，相当于打开学生的视野，为后续分数的学习打下良好的基础。二、学情分析从三年级上到五年级下，时隔两年后学生对分数的认识是怎样的？是随着生活经验的增加而丰厚了呢，还是随着时间的推移而遗忘了？1.前测习题设计为了更好地把
10、握学习起点，从而使教学精准而有效，我们对我校五年级学生分别进行了学情前测。前测卷：（1）你用自己喜欢的方式表示出1/4 。（可以画一画或写一写，让我们一眼看明白）（2）用一个分数表示下图涂色部分： 前测习题共两题，目的主要是为了了解学生对于平均分的整体也就是单位“1”的起点处于一个物体还是多个物体，即是连续的面积模式多还是离散的集合模式多。具体分数所表示意义的理解停留于哪个层次，是处于浅层的基于物体个数的理解还是已经触及深层的份数关系层面的理解。2. 数据实证分析图1 前测习题1数据统计图单位“1”选择连续量是离散量的三倍。习题一画图表四分之一的，选择一个几何图形（连续量）画四分之一的占74.
11、5%，选择多个物体的仅占25.5%，具体见图1。而从思维水平层次来看，能画图正确表征四分之一的占100%，能用文字正确表征的占26.4%，既能画图表征又能用文字表征的占26.4%，既能用离散量表征又能用文字正确表征的仅占3.9%。可见，离散量对于学生来说比较难以理解。分数的意义数量比大于份数比。习题二用 表示的占66%，用 表示的占10%，觉得既可以用 表示也可以用表示的占8%。前测结果说明学生以多个物体为单位“1”的意识不强；对于分数意义的描述大多停留在物体数量比视角，份数比视角相对较弱，对于分数意义的理解处于浅层。整体教学安排五年级学生的思维处于形象思维向逻辑思维过渡时期，学生已具备一定的
12、思考能力，也具有一定的操作能力和操作经验，但是要走向理解层面，还需要依托一定的实践载体。因此本单元的教学安排进行了微调，具体见表2：表2 分数的意义与性质教学计划表教学内容意义呈现学习目标课时数分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”抽象概括出分数的意义2分数再认识（二）侧重分数的“测量”理解（分数单位的学习）与长度单位进行练习，体会分数单位的意义2分饼用分数表示分得的结果教学真分数与假分数2分数与除法从“运算”和“商”的角度认识分数，体会分数与除法的关系分数表示运算的过程，又是运算的结果；带分数与假分数互化。2分数的基本性质解决问题在分数基本性质的探索
13、和验证中，再次加深分数意义“比”的理解教学分数基本性质，等值分数以及基本运用。3约分和通分分数基本性质的运用：约分和通分最大公因数和最小公倍数以及解决问题，约分和通分7表2这样的安排，把分数的多重意义进行了分解和融合，整个单元的教学都是在理解和深化分数的意义上，它们在定位上互有侧重，但它们之间互相补充和促进，共同支撑了对于分数“比、测量、运算、商”等方面的丰富理解。 单元学习目标1.知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。2.认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。3.理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。4.理解公因
14、数与最大公因数、公倍数和最小公倍数，能找出两个数的最大公因数和最小公倍数，能比较熟练地进行约分和通分，并能应用所学知识解决简单的实际问题。5.会进行分数与小数的互化。单元作业设计一、填空。（1）的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。【设计意图】主要考察分数的意义与分数单位的理解，属于基础知识，结尾综合了最小的质数这个知识点，要求正确率在95%以上。（2）36（ ）（ ）15（ ）（小数）【设计意图】此题比较综合，是分数的意义和分数与除法的关系、分数的基本性质、分数化小数这些知识点的融合，学生必须在理解这些概念的基础上才能正确解答，因此属于水
15、平二的习题，要求正确率在90%以上。给学生的建议是要找到完整告诉你的那个信息，然后逐一突破。五（5）班女生人数是男生的,那么男生人数是女生的（ ），男生人数是全班人数的（ ）。【设计意图】主要考察分数的意义中“份数比”的应用以及单位“1”的理解，是知识和能力的综合体现，要求正确率在95%以上。（4）下图是数轴上的一部分，请填出下图括号里表示的数。2 【设计意图】主要考察分数的意义中作为数的意义属性，与数轴结合要求填写数。但是在数轴上并没有呈现完整的数轴，而是选取了一部分，从2开始，学生必须要从2和2又四分之一中找到每一个表示的大小，然后再推理得到其他的数。因此这个习题属于水平层次三的习题，对能力要求较高。但是此题是学生多种能力培养的体现，如观察能力、分析能力、推理能力，同时还要综合分数的意义，因此是高阶思维培养的好习题。（5）在括号里填上合适的分数 45分=（ ）时 875立方分米=（ ）立方米【设计意图】此题主要考察分数知识的应用，主要涉及单位间的进率，以及约分的方法、最简分数等。要求正确率在95%以上。甲数
