1.5 置换的奇偶性引理5.1 若k,l >0,且字母a,b,ci,dj 是互不相同的，则(ab)(ac1 …ckbdl …dl ) = (ac1 …ck) (bdl …dl), (ab) (ac1 …ck) (bdl … dl ) = (ac1…ckbdl…dl )定义5.2 设口€ Sn,且a *1 B 2…B t是完全分解，定义a的符 号函数为 sgn( a )=(-1)n-t 注：1、对 1-轮换，a = (1) (2)^( n)对 t=n ,从而 sgn( a )=1 ;2 、a是一个对换，则他移动两个数固定 n-2个数，则t=n-1二 sgn (a) =-1123456789例 5.3 : (1)设 a = ，求 sgn (a)987654321(2)设二(12) , a = (135) (24) , B = (132) (45),求 sgn (Ta) ,sgn (tB)，且找出 sgn (a)与 sgn (Ta)关 系，sgn (B)与 sgn (tB)关系解：( 1 ) sgn(a) =( -1 ) 9-5=1( 2)Ta =( 13524) TB =( 13)( 2)( 45)sgn (Ta) =( -1 ) 5-1=1 sgn (TB) =( -1 ) 5-3=1sgn (a) =-1 sgn (B) =-1引理5.4 若a , t€ Sn,其中t是一个对换，则sgn( Ta )=-sgn( a )证：设a = B 1 B 2…B t是完全分解，设t = (ab)若a,b出现在同一个B里，不妨设出现在B 1中，则B =(ac1…ckbd1 …dl)，其中 k,l > 0由引理 5.1 tB = (ac1 …ck) (bdl …dl )「• sgn (tu) =-sgn (a)类似可证得 a,b 分别出现在两轮换中的情况。
定理 5.5 对 a , [3 Sn,则 sgn( ap )=sgn( a )sgn( B)证：假设给定a Sn, a可以分解成m个对换的合成，a =t 1…t m下面用归纳法证明m=1时，a是一个对换 由定理5.4知 结论成立假设对 m-1 情形，结论成立sgn( ap )=sgn( t It 2…t mp )=-sgn( t 2 t 3…t mp )=-sgn( t 2…t m)sgn( p )=sgn( t 1 t 3…t m)sgn( p )=sgn( a )sgn( p )•••结论成立推论 5.6 a 1 a 2…a k Sn,sgn( a 1 a 2…a k)sgn( a 1 )…sgn( a k)定理5.7 称置换a Sn为偶置换，若sgn( a )=1，称置换a Sn 为奇置换，若sgn( a )=-1, a和p同奇偶性，若它们都是奇置换或都 是偶置换★恒等变换为偶置换例 5.8 ：判断下列置换的奇偶性⑴ a , p S7 a =(13)(24) p =(12)(23)(34)⑵丫 S8 y =(367)(48)a )=(-1)7-5=1解：⑴a =(13)(24)(5)(6)(7) sgn(Y )=(-1)8-5=-1sgn( B )=-1 奇⑵丫 =(367)(48)(1)(2)(5) sgn(定理5.8 设a Sn,若a是偶置换，则a是偶数个对换的合成若 a是奇置换，则a是奇数个对换的合成证：若a =t 1 t 2…t q是一些对换的合成由推论 5.6 知 sgn( a )=sgn( t 1)sgn( t 2)…sgn( t q)=(-1)q•••若a是偶置换，即sgn (a )=1则q是偶数若a是奇置换，即sgn( a )=-1则q是奇数注：a与a -1同奇偶性。
推论 设a,p€ Sn ,若a,B同奇偶性，则ap是偶置换；若a,B奇偶性不同，则ap是奇置换例5.11 :写出S3中，所有的奇置换和所有的偶置换解：所有置换(1) (2) (3)(1) (23)(12) (3)(13) (2)(123)(132)奇置换有(1) (23)(12) (3)偶置换有(1) (2) (3)(123)(13) (2)(132)n!定理5.10 在Sn中，奇置换与偶置换各有二 证：设Sn中，全体偶置换的集合为 An,全体奇置换的集合为Bn设t = (12)定义：f: An^Qn aTwa下证f是双射Va,p€ Sn , ap ,贝 ^Ta^T••• f是单射对'p€ Qn,B = ( 1)B = T 2 p = T ( Tp )，且Tp€ An从而1n!2命题5.11 r-轮换是偶置换r是奇数证：设a = (i1i2ir ）是一个r-轮换，贝Sa = (i1i2(i2i3 )(ir-1ir )由推论 5-6 知：sgn (a) =sgn (i1i2 )sgn(ir-1ir )=(-1)r-1从而得证定义5.14由Sn的全体偶置换所有构成的子群称为n次交错群,记为An。