二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳１、一元二次方程根的分布状况设方程的不等两根为且，相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布状况见下面各表（每种状况相应的均是充要条件）表一：(两根与０的大小比较即根的正负状况）分布状况两个负根即两根都不不小于０两个正根即两根都不小于0一正根一负根即一种根不不小于0，一种不小于０大体图象()得出的结论大体图象（）得出的结论综合结论（不讨论)表二:(两根与的大小比较）分布状况两根都不不小于即两根都不小于即一种根不不小于，一种不小于即大体图象（）得出的结论大体图象（)得出的结论综合结论（不讨论）表三：(根在区间上的分布)分布状况两根都在内两根有且仅有一根在内(图象有两种状况,只画了一种）一根在内,另一根在内，大体图象(）得出的结论或大体图象(）得出的结论或综合结论（不讨论)——————根在区间上的分布尚有一种状况：两根分别在区间外，即在区间两侧,（图形分别如下）需满足的条件是 （１)时,; (2)时，对以上的根的分布表中某些特殊状况作阐明：（1）两根有且仅有一根在内有如下特殊状况: 若或,则此时不成立,但对于这种状况是懂得了方程有一根为或,可以求出此外一根,然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。
如方程在区间上有一根,由于,因此，另一根为,由得即为所求; 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即,此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检查根与否在给定的区间内，如若不在,舍去相应的参数如方程有且一根在区间内,求的取值范畴分析:①由即得出;②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时,根,故不满足题意；综上分析,得出或根的分布练习题例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范畴解:由 即 ，从而得即为所求的范畴例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范畴解:由 或即为所求的范畴例3、已知二次函数与轴有两个交点，一种不小于1,一种不不小于1，求实数的取值范畴解:由 即 即为所求的范畴例4、已知二次方程只有一种正根且这个根不不小于1,求实数的取值范畴解:由题意有方程在区间上只有一种正根,则 即为所求范畴注:本题对于也许浮现的特殊状况方程有且只有一根且这个根在内,由计算检查,均不复合题意,计算量稍大)1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ａx2+bx+ｃ(a≠０),鉴别式Δ=ｂ２-4ac，当Δ>0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ＝0时，y=ｆ(ｘ)与x轴仅有一交点;当Δ<0时，ｙ=ｆ(x）与x轴无交点．当Δ＞0时,设ｙ＝f（ｘ)图象与x轴两交点为x1＜x２.一元二次函数y＝f（x)与ｘ轴交点ｘ１,ｘ２就是相应一元二次方程ｆ(x)=0的两根．观测图象不难懂得．图像为观测图象不难懂得△=0，a＞０ , △=0，a<0当△＜０时,y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观测图象不难懂得．ａ＞0时，绝对不等式f(ｘ)>０解为x∈R.a＜０时，绝对不等式f(x)＜0解为x∈R.2.讨论一元二次方程的根的分布状况时，往往归结为不等式(组)的求解问题,其措施有３种：(1)应用求根公式；(２)应用根与系数关系；(3）应用二次函数图象.在进行转化时，应保证这种转化的等价性．就这三种措施而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种措施.设f（x）=ax2＋bx+ｃ（ａ>0），方程ax2＋bx+x＝0的个根为α，β（α≤β)，m，ｎ为常数，且n＜ｍ，方程根的分布无外乎两种状况:②α，β同居一区间时，不仅要考虑端点函数值的符号,还要考虑三、好题解给你(1) (1) 预习题１． 设有一元二次函数y=２ｘ２－8x+1．试问，当x∈[３，4］时，随x变大，ｙ的值变大还是变小?由此ｙ＝ｆ(x）在[３,４］上的最大值与最小值分别是什么?解：经配方有ｙ=２(x－2)2-7∵对称轴ｘ=2,区间[3,4］在对称轴右边,∴y＝ｆ(ｘ)在[３，４]上随x变大,y的值也变大，因此ｙmａx＝f(4)=１．ｙmin＝f(3）=-5．２.设有一元二次函数y＝2ｘ2-４ax+2a2+３．试问，此函数对称轴是什么？当x∈[3,4]时,随x变大,y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？由此，求ｙ=f(x)在[３,4]上的最大值与最小值．解:经配方有ｙ＝2（x-ａ)2+3.对称轴为x=a.当a≤3时,由于区间[3，4]在对称轴的右边，因此,当x∈[3,4]时,随ｘ变大，y的值也变大.当３＜ａ＜４时,对称轴ｘ＝ａ在区间[3,４]内,此时,若3≤ｘ≤a,随x变大，y的值变小,但若ａ≤x≤4,随x变大,y的值变大.当4≤a时,由于区间[３，４]在对称轴的左边，因此,当x∈[3,4]时,随ｘ变大，y的值反而变小．根据上述分析，可知．当a≤3时,ｙmax=ｆ(４)＝2a2-16ａ+35．ｙmin=f(3)=2a２-１2a＋21．当3＜a<４时,ymｉｎ＝ｆ(a)＝3．其中,a≤3．5时,yｍａx=f(４)＝２ａ2-16a+３5．a≥3．５时,ymax＝f(３)=2a2-１２a+21．当ａ≥4时,ymaｘ=f(3）=２a2-12ａ＋２1.ymin＝f(4)＝2a2-１６a＋35．(2) (2) 基本题例１.设有一元二次方程x2+２(ｍ－1）x+(m+2)=0.试问：(1)m为什么值时,有一正根、一负根．(2)ｍ为什么值时,有一根不小于１、另一根不不小于１.(３)ｍ为什么值时，有两正根．(4)m为什么值时，有两负根.(5)ｍ为什么值时，仅有一根在[1,４]内？解:(1)设方程一正根x2,一负根x1,显然x１、x２<0,依违达定理有m+2<0．∴ m＜-2.反思回忆:x１、x２＜0条件下,ac＜0,因此能保证△>０．（2)设x1＜1,x2>１，则x1-1<０,x2－1>0只规定(x1-1)(ｘ２-1）＜0，即x1ｘ２－(x1＋x2)+1<0.依韦达定理有（m+2）＋2（m-1)＋1<0.（3)若x1＞0，x2＞０，则x１+x２＞0且x1，x2>0,故应满足条件依韦达定理有(5)由图象不难懂得，方程f(x）＝０在［3，4]内仅有一实根条件为f(3）·f(4)＜0，即[9+6(m-１)＋(m＋2)]·[１6+8（m-1)+(ｍ+2）]＜0．∴（７m＋１)（9ｍ+10)＜0．例２. 当m为什么值时，方程 有两个负数根？解:负数根一方面是实数根，∴ ，由根与系数关系:要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．由以上分析,有即 ∴当 时,原方程有两个负数根． (3) (3) 应用题例1． m取何实数值时,有关x的方程x2+（m-2）x＋5-ｍ=０的两个实根都不小于2？解:设ｆ（x)=x2+（ｍ－２）x+5-m,如图原方程两个实根都不小于2因此当-5＜m≤-4时，方程的两个实根不小于2.例2．已知有关x方程:x2-2ａx+a=0有两个实根α，β,且满足０<α<1,β＞2，求实根a的取值范畴.解:设f（ｘ)＝x2-2aｘ＋a,则方程ｆ(x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x)与x轴的两个交点的横坐标,如图0＜α<1,β>2的条件是：＜1,β＞2.例3．m为什么实数时,有关ｘ的方程ｘ2+（m-2)x＋５-m＝0的一种实根不小于2，另一种实根不不小于２.解:设f(x）＝x２+（m-2）ｘ+5-m，如图,原方程一种实根不小于2，另一种实根不不小于２的充要条件是ｆ（2)＜０，即4＋2(m－2）＋5-ｍ<0．解得m<-5.因此当m＜-5时,方程的一种实根不小于2,另一种实根不不小于2.(4) (4) 提高题例１.已知函数 的图象都在ｘ轴上方,求实数k的取值范畴.解：（1)当 ，则所给函数为二次函数，图象满足： ,即 解得： （２)当 时, 若 ,则 的图象不也许都在x轴上方，∴ 若 ，则y=3的图象都在x轴上方由(1)（2）得: 反思回忆：此题没有阐明所给函数是二次函数，因此要分状况讨论． 例２.已知有关x的方程（m-1）x2－2mｘ+m2＋m-６=０有两个实根α，β，且满足０<α＜1＜β，求实数m的取值范畴．解:设ｆ(ｘ)=ｘ2－2mx＋m２+ｍ-6，则方程f（x）=0的两个根α，β,就是抛物线y=ｆ（x）与x轴的两个交点的横坐标.如图,０＜α＜１<β的条件是解得例３．已知有关x的方程3ｘ２-5x+a=0的有两个实根α,β,满足条件α∈（-2,0),β∈（1,3），求实数ａ的取值范畴.解：设f(x)=3ｘ2-5x+ａ，由图象特性可知方程ｆ(x）=0的两根α,β,并且α∈（-２，０)，β∈(1，3)的解得-12＜ａ<０．四、课后演武场1.已知方程（m-１）x2+3x-1＝0的两根都是正数,则m的取值范畴是（ B )A． Ｂ. C. D. 2.方程 x２+(m2-1）x+（m-2)=０的一种根比1大,另一种根比-1小,则m的取值范畴是( C ）A．0＜ｍ<2 B.－3
其实无论开口向上还是向下,都只有如下两种结论：（１)若,则,;(２)若，则,此外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则相应的函数值越大;反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则相应的函数值越小二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值,讨论的状况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，如下三个例题各代表一种状况例1、函数在上有最大值5和最小值２,求的值解:对称轴,故函数在区间上单调1）当时,函数在区间上是增函数，故 ;(２)当时,函数在区间上是减函数,故 例2、求函数的最小值解：对称轴(1)当时，；（２)当时,；(3）当时,改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?解：（１）当时,; （2）当时, 2．本题若修改为求函数的最值,讨论又该如何进行? 。