《二项式系数的求和问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式系数的求和问题（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二项式系数的求和问题1. 赋值求和问题例 1 设(1 + x + x2)n = a + a x + a x2 + + a x2n，求a + a + a HFa 的值.0122 n1352n-1解：令x = 1，得a + a + a + + a = 3n ； 令x = 1，得a a + aa + a = 1，两0122 n0122 n12 n式相减得：a + a + a + + a=-：.1352n122. 逆用定理求和问题例2已知等比数列a 的首项为a，公比为q，求和：a Co + a C1 + a C2 + + a Cn .n11 n 2 n 3 nn+1 n解：a Cn + a C1 +
2、a C2 + + a Cn = a C0 + a qC 1 + a q2C2 + + a qnCn1 n 2 n 3 nn n 1 n 1 n 1 n1 n=a (C0 + qC 1 + q2C2 + + qnCn) = a (1+ q)n .1 nnnn13 倒序相加求和问题例3已知等差数列a 的首项为a，公差为d，求和：a C0 + a C1 + a C2 + + a Cn .n11 n 2 n 3 nn+1 n解：令S = a C0 + a C1 + a C2 + + a Cn，1 n 2n 3nn+1n贝U S = a Cn + a Cn1 + a Cn-2 + + a C0 = a
3、C0 + a C1 + a C2 + + a Cn，n+1nn nn1n1nn+1nn nn1n1 n两式相加，得 2S = (a+ a)C0+ (a+ a)C 1 +(a+ a)C2+ + (a + a )Cn .1n+1 n2 n n3n1 nn+11 n又在等差数列a 中，a + a = a + a = a + a = a + a = 2a + nd ， 所以n1n+12 n 3n1n+1112S = (2a + nd)(C0 + C1 + C2 + + Cn) = (2a + nd)2n，所以 S = (2a + nd)2n-1.1nnnn114. 建模求和问题例 4 求和：Cr +
4、Cr + Cr +Cr (r n).rr+1r+2n解：此式为(1 + x) r + (1 + x) r+1 + (1 + x) n的展开式中Q项的系数，而(1+ x)r + (1+ x)r+1 + (1+ x)n = (1+(1+从而转化为求(1 + x)n+1 (1+ x)r 展开式中xxn+1 项的系数，所以 Cr + Cr + C + C = Cr+1 .rr+1r+2nn+15. 裂项求和问题例 5 求和： 丄 + + 丄 + +丄.C 2C 2 C 2 C 2234n解:1 2 2 2 n(n 一 1)n(n -1) n -1 n21 111f 22 f 22 f 22 + -+ + -+ 一 =+ +C 2 C 2C 2C 2(12丿123丿、n 1n丿因为丄=C 2nn所以=2 - 2n2346.递推求和问题求和：Cr + Cr + Cr+ Qr (r n).rr+1r+2n解：因为 Cm + Cm+1= Cm+1，所以 Cr + Cr + Cr +Cr= Cr+1+Cr+Cr+ Crnnn+1rr+1r+2nr+1r+1r+2n=Cr+1+ + Cr= 二 Cr+1+ Cr= Cr+1.r+3nnnn+1
