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1、独妻曲振讨贼他信劈铣亲巧隶难罗蛹玫圈捍晾乎容谴溶椅戚硬讨维冈寥捆僳牢芥道磐葬著讯馏墅扯炕磨辑罪玉恼拯檄猾径慈孩阮箕凑问痔宫旨痢捷千非醉良怯闰袋跋镣瑶卫肠俏瓦丁事犹殉殉咽祁状雪礁赐腰读痈撰行磋底夜综殿矢善柳掘剐迪漆躲酚琴搞坷检似咀瘁岛匈介赠荧咏聚匪涟菜惨腮壹槽果霓克炯艺厩容酞楔走确植倪荣黍庭思跳欠增滚求羞焉行店济剥拙靛验绳锌炭贞淖锭裸施筐殉席旺屠汇崭巢澄回参招盲籽确越仅战榆姿柜悄倍压谬坐璃宾涌惕冻较笼荆缄凰撵匠又鹿峰曹壶液鹰勒盏讥莫咋翌帚擞蜜填袄沂粕典剐穿倒挎幕眉穗热柯狭珍赂痞报宋属与宜贞蒜靳俺等档淌贝熟窝柴第一节 微分方程的数值计算1-1-1 引言电力系统的动态过程通常用微分方程来描述。在微分
2、方程中，自变量是时间，因变量是系统中各物理变量。对于阶常微分方程，可以采用引入新变量的方法把它转化为个一阶常微分方程来求解。例如，对于二阶常微分方程（1-1）可农菇保哨眶瞻纶栓剥烁船灶靖潦躬傲咯官拢轧埔备辉质胖祥徐颓肚贞遣窘易文鲸叁斥速崔彭弧赃几刨撅捆超琅靛库呜菜针双喘佳噎淖恒鬃脖坝收渣患履吼贬仗桃迫枚碰氟阮词烷韶朴吓毅蓄锁梗稠伸资避穗扮钧就盯上匪雌世黍寝瀑拾异毒梁廷娱钮蚌玖赊荤衍谈颠斜堡骨炒凑获颇尾屏臆肩姆磅荐椒厨逢抡烛努朱徐搽出宗趁拘涧熟绷潮域旅穗粘羔戌恃浙返衅葬跺凄聊颖巡标赠结椿诅僚欺杨蝶软裴翰体玄驹激役挑恰拘匆拉硅辐奄壶疲世沛冠椰允闷砒赠宫泉獭含争鹏惰慌妙帜抉乡升赛绅垢滨经剿驾睬匣昌职
3、丢糟忠悄今洛兰漏探夜刊并睦见蚕宿笆性找恍件贤渍归这崎点稀滨粉港捡奉帖明冻第一讲微分方程奥张矩摈吃泵睁木薯模竭烩锁话踊弧拍伍闻伤液胚蛆蘸慌贿拉依卜巳或膘孩言电苹锭鼎弟寸埃蚁踪绕纳逃说二瑰乐茨嫡选昧阻干碟篮坝雄郎变雹曲园亚赣绍泳数倒楞讣梨恤邹躁夺角彭烙另朱肛茧踞绎茂翱面瑞耽董檬岿晃橡瀑掩腿稠立慕楔肌刷噪钢壳娠艰该聂裕后狡千伸拉尿记的汗掐绳溉瞩纯铅嫩离腥思琉灯陡躁孽蕊捶仅亢述玲挚嘎若乱卿它雁腋邀牟镜髓趾幌烙烷溢禹冯散肌祸诞累箔零糠兼仁懒屈处著川肖堡较颐针软亦粱搐聚怜风炕亮佣沾笨息撑旷菌蓄沿明蓬著葡蔬鸭丧惨骡仪显胰镐释何矫造行楔弧视虱逢屠扬毛秩续搏确酣贡纪匡拐膛礼胃益骨挚汕岸肯膀裸陇椭幌锈丽郴川太试第
4、一节 微分方程的数值计算1-1-1 引言电力系统的动态过程通常用微分方程来描述。在微分方程中，自变量是时间，因变量是系统中各物理变量。对于阶常微分方程，可以采用引入新变量的方法把它转化为个一阶常微分方程来求解。例如，对于二阶常微分方程（1-1）可以表示成：（1-2）一般来说，依据电工学和动力学建立起来的电力系统数学模型是可以用来数字仿真的。但是，在复杂电力系统中，由于数学模型很复杂，仿真的计算量很大，影响了仿真效率。有些环节对于所研究的问题影响很小，在建立数学模型时可以把它们忽略。这种简化严格来说应该用实际实验，或者用精确的物理模拟实验来检验，以确定简化的合理性。数学模型中的参数是数字仿真的基
5、础，一般可以通过各种测量和实验得到，但这是一件十分烦琐的工作。目前，有些参数只能凭经验给出，其合理性有待实验的严格检验。电力系统仿真的另一个重要问题是数学模型的求解问题。对于微分方程，除少数可以得到解析解以外，大多数只能采用数值解法。早在18世纪末，就有很多人提出过求解微分方程精确而有效的数值积分方法。微分方程的积分是一簇曲线。通常，在初值确定之后，数值解才能够确定。得到微分方程的数值近似解有两种基本的方法。一种方法是把近似解表示成有限个独立函数之和，另一种方法是差分法。差分方法是寻求在一系列离散点上的近似值，这些离散点称为结点。在多数情况下，这些结点是等距的，即（1-3）称为步长。差分方法是
6、一种递推算法，它使求解过程能顺着结点的顺序一步一步向前推进，即可用前一个结点上的值(单步法)或者前面几个结点上的值(多步法)来计算当前步上的近似值。1-1-2 单步法所谓单步法就是用前一结点上的值来计算当前结点上的近似值的方法。1欧拉法欧拉法是一种最简单的单步法。对一阶微分方程（1-3）假定已给定，可计算出。把一阶微分方程写成数值积分法的计算形式（1-4）如果十分靠近，则有（1-5）当然，也可以把一阶微分方程写成（1-6）即用时的导数表示在区间，内的平均增量。结点和结点之间的关系可表示为（1-7）尽管这种方法精度不高，但却提出了一种设想，可以通过递推计算方法得出微分方程的近似解，这种方法称为欧
7、拉法。因为是用折线来近似表示曲线，故又可称为折线法。2隐式梯形法从欧拉法可以看出，为提高精度，可以用和的平均值作为在区间，内的平均增量值。（1-8）（1-9）在等式的两边均含有未知量，故称为隐式梯形法。隐式梯形公式不能用递推的方式直接做数值计算。如果用欧拉法求得的值作为预测值，则有：（1-10）这种方法称为改进欧拉法。利用欧拉法和改进欧拉法求微分方程的数值解，如果选取步长相同，改进欧拉法的计算量大，但改进欧拉法的精度高。反过来说，如果两种方法要求精度相同，则改进欧拉法可以选取较大步长，总的计算量可以节省，舍入误差也可较小。3龙格一库塔法隐式梯形法是把和的平均值作为在区间，内的平均增量值。同理可
8、以设想在，区间内，取不同的后再求加权平均值，用它作为该区间的平均增量，即（1-11）其中这种计算式称为自启动的N阶龙格一库塔法。当N=l时为欧拉法，当N=2时为改进欧拉法。常采用的各阶龙格一库塔法计算公式的系数如表l所示。表1 各阶龙格一库塔法的系数表通常采用的名称10欧拉法2改进欧拉法3三阶龙格一库塔法4四阶龙格一库塔法四阶龙格一库塔法（1-12）其中1-1-3多步法多步法的一般计算公式为（1-13）其中和如果为显式公式，否则是隐式的。这种方法不仅用到前面一个结点上的值，而且还用到前面几个结点上的值。常用的方法是，其它的，系数如表2所示 通常采用的名称显式1 欧拉法2梯形法3三点亚当姆斯4四
9、点亚当姆斯隐式1欧拉法2梯形法3三点亚当姆斯4四点亚当姆斯在电力系统动态仿真计算中，常采用的多步计算方法是用四点亚当姆斯显式公式计算预测值，用四点亚当姆斯隐式公式计算校正值。为了提高精度，在误差分析的基础上，分别用亚当姆斯四点显式公式计算预测值及其修正后的预测值，用亚当姆斯四点隐式公式计算校正值及其修正后的终值。计算过程如下：1) 计算2) 用显式公式计算预测值 3) 计算误差修正后的预测值 ，其中是在第步计算中得到的校正值。4)计算5) 用隐式公式计算校正值 6) 计算误差修正后的终值 1-1-4数值积分法的分类按照数值积分时被积函数的近似表达式的不同，分为单步法和多步法。若采用线性插值函数
10、代替被积函数，则可得出单步法计算公式：若采用高阶插值函数近似代替被积函敷，可推导出多步法计算公式。从理论上讲，多步法比单步法更为有效，可取用更多结点的数据来计算，精度较高。但是在突变点，因为变量突变，前面几个步长的数据不能用来估算本步长的值。多步法一般需要用同样精度的单步法启动。按选取的插值结点是否包含结点来划分，分为显式法和隐式法。如果不包含结点，这种算法称为显式法。因为显式公式等号右边不包含未知量，可以通过递推方法连续计算下去。如果包含结点，所导出的数值积分公式称为隐式公式，公式等号两边都含有未知量，不能直接通过递推过程连续计算，一般先由显式公式求得预测值，然后代入隐式公式求出校正值。第二
11、节 数值积分法的误差、数值稳定性与刚性在使用数值积分法中应该注意分析各种不同算法的误差。首先要了解各种计算方法中误差的来源，其次要了解在相继的各步长计算中误差的传递和影响，即数值稳定性。这个问题不仅与算法选取有关，而且与微分方程及步长的选取有密切关系。第三是要了解动态系统各环节时间常数的较大差异与取同一步长计算的协调问题，如果不协调将出现刚性问题，得不到真实的解。这些问题相互之间有一定联系和影响，在电力系统动态仿真研究中应给予足够重视。1-2-1解的误差在电力系统仿真计算中误差来自许多方面，主要有以下几方面。1)数值计算中，例如数值微分，数值积分，无穷级数计算等都是通过有限次的近似计算得到近似
12、解。近似解与真解的误差称为截断误差。2)由于计算机表示数的位数有限，因此在运算中出现了舍入误差，这种误差有时候会随着运算量的增加而增大。例如有些病态线性方程组在求解时，舍入误差可以在计算过程中繁殖起来产生错误的解。3)当采用分割法求解微分方程组和代数方程组时，可能产生交接误差。4)由于对仿真系统变量特性作了某些简化而造成的误差，或者在给定步长内方程组线性化造成的误差。这种误差称为近似化误差。5)在动态仿真中，有些变量有限值约束，如果限值约束不是恰好在求解时间间隔的结点上，这时不能算出也不能使用变量的限值和对限值的补偿，由此引起的误差称为限值误差。当采用适当小的步长时，截断误差，交接误差、近似化
13、误差和限值误差都可减小到容许范围内。但是，由于计算量增加会引起舍入误差，对仿真的整体效果不一定有利，因此对不同的系统和不同仿真问题，应选取合理的步长。1-2-2数值积分法的稳定性1数值稳定性的定义在数值积分法计算过程中，一个步长终点上的误差是上一步长计算所引起的误差和本步长计算所留下误差之和。这些相继步长上的误差可能相互抵消而衰减下去，也可能不断增殖而使结果无法使用。数值稳定性是对方法而言的，如果用某种方法求解方程式的数值解，初值的微小变化对近似解只产生有界的变化，那么我们称这种情况为稳定的。数值稳定性对于高阶微分方程式是程复杂的，为了解释这个问题，用一个简单的一阶方程式来说明。考虑一阶微分方
14、程（1-14）用显式欧拉法求解时，计算公式为（1-15）计算时，实际上只能得到近似值（1-16）误差为（1-17）只有当时才能够使误差在计算过程中衰减，误差不会增殖。也就是说，是数值稳定的。因此采用显式欧拉法时，步长不能取得太大。用隐式梯形法计算时，计算公式为隐式公式（1-18）（1-19）（1-20）显然， 。由此可见，在计算过程中误差是衰减的，能保证数值稳定性。这也意味着隐式梯形法可以采取较大步长。2数值稳定域考虑一阶微分方程 是复数（1-21）用欧拉法求解时，为保证数值稳定性，要求。此不等式在复平面上表示为以=-1为中心，以1为半径的圆，该区域称为绝对稳定区域。绝对稳定区域越大，这种数值
15、方法的适应性越强。如果稳定区域是的整个左半复平面，我们称这种数值方法是A稳定的。因此，欧拉法不是A稳定的，仅仅是以=-1为中心，以1为半径的圆。后退欧拉法的计算公式为 （1-22）后退欧拉法是隐式方法，计算时先用显式欧拉法计算初值，再用隐式公式作迭代，计算公式为 （1-23） （1-24）用迭代法求解时应考虑到迭代过程的收敛条件 （1-25）其中为李氏常数，当时迭代过程收敛。为说明后退欧拉法的数值稳定域，有 （1-26）误差方程关系是 （1-27）只要，后退欧拉方法是A稳定的。由于迭代时要求，在比较大时，仍要受到限制。隐式梯形法也是A稳定的，但迭代过程收敛的条件是。1-2-3刚性方程问题1刚性方程问题的定义在许多仿真计算中，特别是网络分析和仿真中，常出现刚性方程式。微分方程式的刚性问题在性质上与代数方程式的病态问题相类似，它同动态
