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1、2016届山东省枣庄八中南校区高三2月月考数学（理）试题一、选择题1若（是虚数单位），则( )A B C D【答案】B【解析】试题分析：，故选B【考点】复数的四则运算2设集合，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：，【考点】集合的交集运算3在中，“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则；若，则；故“”是“”的充分不必要条件【考点】充分、必要条件的判断 【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件； 必要不充分
2、条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件； 既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件4要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位【答案】D【解析】试题分析：，所以只要将函数的图象向右平移个单位即可，故选D【考点】三角函数图像的平移5一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积，高，故半圆锥的体积，故选：D【考点】由三视图求面积、体积6已知满足约束条件，则的最大值为（ ）A6 B8 C10
3、D12 【答案】D【解析】试题分析：作出可行域，如下图：可知在点处取到最大值，最大值为12，故选D【考点】简单的线性规划7过双曲线的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【答案】A【解析】试题分析：，且,，,，即,故选A【考点】双曲线的简单性质8已知向量的夹角为60，且，当取得最小值时，实数的值为（ ）A2 B-2 C1 D-1【答案】C【解析】试题分析：，且与的夹角为，故当时，取得最小值为，此时，故选C【考点】平面向量数量积的运算9设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（ ）A1006 B1007 C1008 D10
4、09【答案】D【解析】试题分析：由等差数列的求和公式和性质可得，同理由可得，可得，且对任意正整数，都有，的值为，故选C【考点】等差数列的性质【思路点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的最小项是解决问题的关键，由等差数列的求和公式和性质可得和，可得，且，由题意易得结论10已知上的奇函数满足，则不等式的解集是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：设，则，设，则，由得，由得，即当时，函数取得极小值同时也是最小值，即，即在上为增函数，则当时，则不等式等价为，即，则，即不等式的解集是，故选：A【考点】1导数在最大值、最小值问题中的应用；2函数的单调性与导数的关系【思路点睛】本题主要
5、考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可二、填空题11某高校为了了解教研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有_人【答案】48【解析】试题分析：这80名教师中年龄小于45岁的教师频率为：，这80名教师中年龄小于45岁的教师人数为：【考点】频率分布直方图12执行下图的程序框图，则输出的_【答案】【解析】试题分析：第一次循环后；第二次循环后；第三次循环后；第四次循环后
6、，循环停止，输出【考点】循环结构13二项式的展开式中的系数为，则_【答案】【解析】试题分析：二项式的展开式中含的系数为，故答案为：【考点】1二项式定理的应用；2定积分14已知是圆与圆的公共点，则的面积为_【答案】【解析】试题分析：由题意可知，联立，可得直线的方程为：，所以到直线的距离为，线段的长度为，所以的面积为【考点】直线与圆的位置关系【思路点睛】根据点是圆与圆的公共点，将其方程联立可得直线的方程；再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据勾股定理可求得线段的值，然后再根据面积公式即可求出的面积15对于函数，有下列5个结论：任取，都有；函数在区间上单调递增；，对一切恒成立；函数有3个
7、零点；若关于的方程有且只有两个不同实根，则则其中所有正确结论的序号是_（请写出全部正确结论的序号）【答案】【解析】试题分析：当时，根据题意当时，当时，所以，所以，所以正确；作出函数的图像，可知错误；当时，所以，对恒成立，所以错误；对于的零点的个数问题，分别画出和的图像如图：显然有三个零点，所以正确；根据题意画出和的图像可知正确;由下图可知，正确综上正确的序号是：【考点】1分段函数的最值；2数形结合思想【思路点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的性质、分段函数的性质、函数的零点，考查了推理能力与计算能力；对于含参数的函数在区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,
8、 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用函数的最值即可求出结果三、解答题16已知向量，设（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积【答案】（1）,；（2）【解析】试题分析：（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，可解得函数的单调增区间（）由，可得，结合范围，可得 ，从而求得，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得解试题解析：解：（） 由 可得所以函数的单调递增区间为,（）由可得 【考点】1余弦定理；2三角函数中的恒等变换应用17如图，边长为的正方形与梯形所在的平面互相垂直，其中，点在线段上（1
9、）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据题意，利用勾股定理可得，再根据面面垂直的性质定理可得,再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面与平面所成锐二面角的余弦值试题解析：解：（1）证明：如图，（） 在面内过点作以为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系 则 设平面的法向量为令平面的法向量， 所以平面与平面所成锐二面角是【考点】1面面垂直的判定定理以及性质定理；2空间向量在立体几何
10、中的应用【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为，设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图1）或 （图2）其中 图1 图218某卫视的大型娱乐节目现场，所有参加的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”（1）求某节目的投票结果获“通过”的概率；（2）记某节目投票结果中所含“通过”
11、和“待定”票票数之和为，求的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设“某节目的投票结果获“通过”为事件A，则事件A包含该节目获2张“通过票”或该节目获3张“通过票”，由此能求出某节目的投票结果是最终“通过”的概率（2）所含“通过”和“待定”票数之和的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望试题解析：（1）设“某节目的投票结果获“通过”为事件A，则事件A包含该节目获2张“通过票”或该节目获3张“通过票”，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，某节目的投票结果是最终获“通过”的概率为：（
12、2）所含 “通过”和“待定”票票数之和的所有取值为0，1，2，3，的分布列为：X0123P【考点】1离散型随机变量的期望与方差；2离散型随机变量及其分布列19设等差数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）记，求【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列 ，公比为，根据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，以及题意可知：，即可求出通项公式；（2）设， 然后再利用错位相减法即可求出结果试题解析：解：（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列 ，公比为由题意可知：，所以得（2）令，相减得=【考点】1等差数列的通项公式；2等差数列的前项和公式；3错位
13、相减法【方法点睛】针对数列（其中数列分别是等差数列和等比数列（公比），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是：1；2等式两边同时乘以等比数列的公比，得到；3最后-，化简即可求出结果20已知椭圆的离心率为，且过点若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意知，可得，又，即可求出椭圆的方程；（2）设，则，由于以为直径的圆经过坐标原点，所以即，由得 ，根据韦达定理、弦长公式和面积公式即可求出结果试题解析：（1） 解：由题意知，即 又 ， 椭圆的方程为 （2）设，则由于以为直径的圆经过坐标原点，所以即由得 ， 代入即得： ，, 把代入上式得【考点】1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系21已知函数（1）当时，求函数的零点个数；（2）当时，若函数在区间上的最小值为-2，求的值；（3）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明： 【答案】
