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1、word微积分教案上册章节名称：第三章导数与微分主讲教师：岳斯玮联系方式： / 第三章 导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义速度， 几何意义切线的斜率和经济意义边际， 掌握根本初等函数的导数公式，导数的四如此运算法如此，复合函数求导法如此。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以与一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解导数在经济中的应用本章教学重点与难点1导数概念与其求导法如此；2隐函数的导数；3复合函数求导；4微分的概念，可微和可导
2、的关系，微分的计算3.1 导数的概念教学目的与要求1.理解函数导数的概念与其几何意义.2.掌握根本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点1.函数导数的概念、根本初等函数的导数2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数教学过程一、引例导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：运动规律求速度和曲线求它的切线这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的下面我们以这两
3、个问题为背景引入导数的概念 1瞬时速度思考：一质点的运动规律为，为某一确定时刻，求质点在时刻的速度。在中学里我们学过平均速度，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.“以匀代不匀.设质点运动的路程是时间的函数，如此质点在到这段时间内的平均速度为可以看出它是质点在时刻速度的一个近似值，越小，平均速度与时，平均速度就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在时刻的瞬时速度，即物
4、体在时刻的瞬时速度为1思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？因为自由落体运动的运动方程为：，按照上面的公式，可知自由落体运动在时刻的瞬时速度为。这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2切线的斜率思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.1切线的概念曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：
5、切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长趋于0，也趋向于0.如下列图2求切线的斜率设曲线C为函数的图形，如此，点为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即，割线的斜率趋向于切线的斜率。也就是说，如果时，上式的极限存在，如此此极限便为切线的斜率记为，即2设某产品的本钱C是产量x的函数，试确定产量为个单位时的边际本钱。用前两例类似的方法处理得：表示由产量变到时的平均本钱，如果极限 3 存在，如此此极限就表示产量为个单位时本钱的变化率或边际本钱。思考：上述三个问题的结果有没有共同点？上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是
6、经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如4的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不一样，但最终都归化为讨论形如4的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数的概念.二、导数的定义1导数的概念定义设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处取得增量点仍在该邻域内时，函数相应地取得增量，如果极限存在，如此这个极限叫做函数在点处的导数，记为当函数在点处的导数存在时，就说函数在点处可导，否如此就说在点处不可导.特别地，当时，为了方便起见，有时就说在点处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：1导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常
7、见的有2反映是自变量 x 从改变到时，函数的平均变化速度，称为函数的平均变化率；而导数反映的是函数在点处的变化速度，称为函数在点处的变化率。2导函数的概念上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数在开区间I的每一点都可导，就称函数在开区间I上可导，这时，都对应的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做的导函数，记作：。即，导函数的定义式为：或在这两个式子中，可以取区间I的任意数，然而在极限过程中，是常量，或才是变量；并且导数恰是导函数在点处的函数值.我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。定义 极限和分别叫做函数
8、在点处的左导数和右导数，记为和.如同左、右极限与极限之间的关系，显然：函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等.还应说明：如果在开区间上可导，且和都存在，就说在闭区间上可导.三、按定义求导数举例1根据定义求函数的导数的步骤根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为：求增量：算比值：求极限：2运用举例例1 求的导数C为常数.解 求增量作比值 取极限 所以 即常量的导数等于零.例2 求函数的导数.解，即注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即例如：，例3 求的导数.解即.用类似方法，可求得.例4 求的导数.解所以特别地，当时，有例5四、导数的几何意义由前面对切线问题的
9、讨论与导数的定义可知：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点M处的切线的斜率。因此，曲线在点M处的切线方程为.思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点M处切线的斜率求点M处的法线方程？ 根据法线的定义：过点M且垂直于曲线在该点处的切线的直线叫做曲线在点M，根据解析几何的知识可知，切线与法线的斜率互为倒数，如此可得点M处法线方程为：例6 求双曲线在点处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方程.解 根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：所以切线的方程为，即 .法线的方程为，即 .五、可导与连续的关系定理 函数在某点处可导，如此一定在该点连续.证明：因为如果函数在点处可导，即，从而
10、有，其中，于是，因而，当时，有。这说明函数在点处连续。思考：定理的逆命题成立吗？例7讨论函数在处是否可导。解 因，即在点处的左导数、右导数都存在但不相等，从而在处不可导。注意：通过例7可知，函数在原点0,0处虽然连续，但该点却不可导，所以函数在某点处可导，如此一定连续，反之不一定成立.课堂小结1.导数的表达式：2.根本初等函数的导数：3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，如此一定在该点连续，反之不一定成立。4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。3.2 求导法如此与导数的根本公式教学目标与要求1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法如此2. 理解反
11、函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 掌握隐函数的求导方法；5. 掌握并能运用对数求导法；6. 熟记求导法如此以与根本初等函数的导数公式。教学重点与难度1. 会用函数的和、差、积、商的求导法如此求导；2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数4. 会求隐函数的导数以与能运用对数求导法。教学过程前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个根本法如此和根本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法如此和公式，就能比拟方便地求出常见的函数初
12、等函数的导数。一、函数的和、差、积、商求导法如此1.函数的和、差求导法如此定理1 函数与在点x处可导，如此函数在点x处也可导，且。 同理可证：即证。注意：这个法如此可以推广到有限个函数的代数和，即，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。例1定理2 函数与在点x处可导，如此函数在点x也可导，且。注意：1特别地，当c为常数时，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法如此结合，可得：。2函数积的求导法如此，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即。例2 求如下函数的导数。1； 2。解 12例3 求如下函数的导数教材例3.10。1； 2解12定理3 函数与在点x处可导，且，如此函数
13、在点x处也可导，且。注意：特别地，当c为常数时，。思考：请各位同学总结一下三角函数的导数公式。总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：二、反函数的导数想一想：在根本初等函数中，还有那么函数没有求导法如此？在根本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：定理4设函数在某一区间是单调连续，在区间任一点x处可导，且，如此它的反函数在相应区间内也处处可导，且或证 因为函数在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数在相应区间内也是单调连续函数。当的反函数的自变量y取得改变量时，由的单调性知，于是又因为连续，所以当时，。由条件知，所以故或。即证。例6 求如下反三角函数的导数。 1； 2；3； 4。例7 求函数的导数。解 由于为对数函数的反函数，根据反函数的导数法如此得所以，指数函数的导数公式为特别地，当时，有三、复合函数的求导法如此综上，我们对根本初等函数的导数都进展讨论，根据根本初等函数的求导公式，以与求导法如此，就可以求一些较复
