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1、word 锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】锐角三角函数的定义、性质与应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如下列图，在RtABC中，C90，A所对的边BC记为a，叫做A的对边，也叫做B的邻边，B所对的边AC记为b，叫做B的对边，也是A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做A的
2、余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即.同理；要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成sin与A，cos与A，tan与A的乘积书写时习惯上省略A的角的记号“，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF，不能写成“tanAEF；另外，、常写成、(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(
3、4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0A90之间变化时，tanA0考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0、30、45、60、90角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0、30、45、60、90角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：假如，如此锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、的值依次为0、1，而、的值的顺序正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0A90之间变化时，正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)
4、考点三、锐角三角函数之间的关系如下列图，在RtABC中，C=90(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便考点四、解直角三角形在直角三角形中，由元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在RtABC中，C=90，A、B、C所对的边分别为a、b、c，如此有：三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).锐角之间的关系：A+B=90.边角之间的关系：，.，h为斜边上的高.
5、要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90)，是的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型与解法条件解法步骤RtABC两边两直角边(a，b)由求A，B=90A，斜边，一直角边(如c，a)由求A，B=90A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如A，b)B=90A，锐角、对边(如A，a)B=90A，斜边、锐角(如c，A)B=90A，要点诠释：1在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是的，哪些元素是未知
6、的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进展计算.2假如题中无特殊说明，“解直角三角形即要求出所有的未知元素，条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边
7、、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，如此，如图，坡度通常写成=的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40，135，245.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向
8、线所成的小于90的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30，南偏东45，南偏西80，北偏西60.特别如：东南方向指的是南偏东45，东北方向指的是北偏东45，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西45.要点诠释：1解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择适宜的方法求解.【典型例题】类型
9、一、锐角三角函数的概念与性质1(1)如下列图，在ABC中，假如C90，B50，AB10，如此BC的长为( ) A10tan50 B10cos50 C10sin50 D(2)如下列图，在ABC中，C90，sinA，求cosA+tanB的值(3)如下列图的半圆中，AD是直径，且AD3，AC2，如此sinB的值等于_【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边 (2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边 (3)要求sinB的值，可以将B转化到一个直角三角形
10、中【总结升华】 一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长； (2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A1，读者可自己尝试完成举一反三：【变式】RtABC中，C=90，a、b、c分别是A、B、C的对边，那么c等于( )(A) (B)(C) (D)类型二、特殊角的三角函数值2解答如下各题： (1)化简求值：； (2)在ABC中，C90，化简【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：12sincos=(sincos)2例如，假如设sin+cost，如此举一反三：【变
11、式】假如，(2，为锐角)，求的值.3 (1)如下列图，在ABC中，ACB105，A30，AC8，求AB和BC的长； (2)在ABC中，ABC135，A30，AC8，如何求AB和BC的长?(3)在ABC中，AC17，AB26，锐角A满足，如何求BC的长与ABC的面积？假如AC3，其他条件不变呢?【思路点拨】 第(1)题的条件是“两角一夹边由条件和三角形内角和定理，可知B45；过点C作CDAB于D，如此RtACD是可解三角形，可求出CD的长，从而RtCDB可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边；第(3)题的条件是“两边一夹角，均可用类似的方法解决类型三、解直角三角形与应用4如下列图，D是A
12、B上一点，且CDAC于C，AC+CD18，求tanA的值和AB的长专题总结与应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义 【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主例1 如图28123所示，在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，如此如下结论正确的答案是 ( ) Asin A Btan A CcosB Dtan B例2 在ABC中，C90，cosA,如此tan A等于 ( ) A B C D专题2 特殊角的三角函数值 【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值 例4 计算|3|2cos 45(1)0 例5 计算(1)2007cos 60 例6 计算|(cos 60tan 30)
13、0 例7 计算(3.14)0|1tan 60|. 专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力. 例8 如图28124所示，在ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC14，AD12，sin B (1)求线段DC的长； (2)求tanEDC的值.例9 如图28125所示，在ABC中，AD是BC边上的高，tan BcosDAC. (1)求证ACBD； (2)假如sin C，BC12，求AD的长例10 如图28126所示，在ABC中，B45，C30，BC3030，求AB的长专题4 用锐角三角函数解决实际问题 【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的
