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1、#解直角三角形专题讲座解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研以及究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积, 与之相关的几何图形的数量。1、明确解直角三角形的依据和思路因此，锐角三角函在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。如图1,在Rt ABC中，/ C= 90，设三个内角 A、B C所对的边分别为 a、b、c (以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是(1)边角之间的关系:sinA = cosB = , cosA = sinB = ,
2、tanA = cotB =,cotA = tanB =(2)两锐角之间的关系:A+ B= 90 。(3)三条边之间的关系:以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路， 就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素,那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系,因为已知两个元素（至少有一个是边） 可以判定直角三角形全
3、等，也可以作出直角三角形， 即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的， 它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以， 要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中， 必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知 一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下：f已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AaC =B= 90 A, b= a cotA ,如斜边c及锐角AB= 90 A, a= c si nA , b= c cosAr两边两条直角边a和bG =沪,B= 90 A,- a1直角边a和斜边
4、cH&=-人nr弋,B= 90 A,占弓 乂 a例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且/A= a , AE= 1，求AB的长。分析一：所求AB是Rt ABC的斜边，但在Rt ABC中只知一个锐角 A= a ,暂不可解。而在Rt ADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt ADE入手。解法在 Rt ADE中,AEAD且/ A=AE= 1 ,J. AD =AE _1cos A cos 谡vAD在 Rt ADC中,cos ACOS3 cT -1在 Rt ABC 中，.；一，：-J.： ：。分析二；观察图形可知，CD CE分别是Rt ABC和Rt ACD斜边上的高，具备应用射影
5、定理的条件，可以利用射影定理求解。:.AD = 解法二：同解法一得，r1T AD2 = AE AC,:. AC =在Rt ACD中,上丄丁T AC2 = AD- AB,AB = 在 Rt ABC中，- - :说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是， 由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用 到。在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形（图3）,它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的
6、变化， 从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。例2、(1)若 BD= ，/ B= 30。，求 AD 的长;(2)若/ ABC= a，/ ADC= 3，求证：tan 3 = 2tan a。(1)分析：由AD是BC边的中线，只知 DC 条边长，仅此无法直接在Rt ADC中求解AD而在 Rt ABC中，由已知 BC边和/ B可以先求出 AC,从而使 Rt ADC可解。解：在 Rt ABC中,BC=2BD=2，/ B= 30, AC= BCtanBI在 Rt ADC中,DC= BD=J2AD = y/AC2 + DC2(2)分析：a和B分别为Rt ABC和 Rt ADC中的锐角，且都
7、以直角边 AC为对边，抓 住图形的这个特征，根据直角三角形中锐角三角比可以证明tan B = 2tan a。证明：在Rt ABC中，,ZABC = ：.AC=BCig BC-tLADC = rZADC = .AC = DC tg在 Rt ADC中，一,又T BC= 2DC, tanB = 2ta n a o例3、如图3，在Rt ABC中，/ C= 90, AD是/ BAC的平分线。(1 )若 AB： BD=，求/ B;(2)又若BD= 4，求沁o分析：已知AD是/ BAC的平分线，又知两条线段的比 AB： BD=,应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt ADC中，先求出/
8、 DAC即可求得/ Bo.AB _BD AB AC _解：(1)t AD是/ BAC的平分线，：1 ,即三二 二二,T cigDAC = = J3在 Rt ADC 中，-，/ DAC= 30 ,BAC= 2/ DAC= 60 ,/ B= 90/ BAC= 30o(2) 匚匚,BD= 4,a AB=BD= 41_,/ B= 30,. AC= AB= 2，又T BC= AB cosB = 6,山一 =:.bc AC= : X 6 X 2=6说明：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理, 往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。例 4、如图 3，在 Rt A
9、BC中、/ C= 90, D为 BC上一点，/ ABC= 45 , / ADC= 60, BD= 1,求 ABo分析：已知的角度告诉我们，Rt ABC和Rt ADC都是特殊的直角三角形， 抓往这个特 点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解。解：在 Rt ADC中，设 DC= x,/ ADC= 60,二 AD= 2x , AC= x,旃十1在 Rt ABC中，/ ABC= 45, BD= 11 + x= xx=,AB= AC=x=o说明：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方 程。还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁。例5、
10、如图4,在厶ABC中、D F分别在 AC BC上，且 AB丄AC, AF丄BC, BD= DC= FC=1，求 AG分析：由数形结合易知， ABC是直角三角形,AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在厶BDC中，且 BD= DC= 1,即厶BDC是等腰三角形。因此，可以过 D作DEL BC,拓开思路。由于 DE AF同垂直于BC,又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AG解：在 ABC中，设 AC为x，: AB丄AC, AFL BC,又FC= 1，根据射影定理，得:7 ，即 BC-再由射影定理，得：,即AF2 =AF =3 -1O在 BDC中，过
11、D作 DEL BC于 E,v BD= DO 1 ,二 BE= EC,又；AF丄 BC, / DE/ AF,.DE DC . DC AF Jx匚 1。在Rt DEC中，：匚己十总二 C，即 z-=1a孟2 _ 丄盂4. ”违 八 F T ，整理得 f盒反、人C = 晅。说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用。还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形解决实际问题，包括度量工件、测量距离、工程技术等许多方面。解决问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角
12、形使实际问题得到解决。例6、某型号飞机的机翼形状如图 5,根据图示尺寸计算 AC BD和AB的长度（保留三个有效数字）。ACW 5. 00米FrE分析；飞机机翼形状为四边形ABDC要求其中三条边的长度，一方面应使所求线段成为直角三角形的元素，另一方面，要设法将已知条件与未知量集中在某个三角形中以求解， 这就需要恰当地构造直角三角形。解：过C作CEL BA 交BA的延长线于 E。在 Rt ACE中，/ ACE= 45, CE= 5, a AC=、CE 1.414 X 5= 7.07。过D作DFL BA 交BA的延长线于 F,且与 AC交于G,在Rt BDF中，t/ BDF= 30, DF BD=
13、 cos30 0.866 577j- BF 2BD = 2 885 AB= BF AF= BF FG= BF （ DF- DQ = BF （ DF CD = 2.885 （ 5- 3.4 ）1.29 （米）。说明：解决实际问题时，计算常有精确度的要求，应注意近似计算的法则和规范表述。例7、某勘测队在山脚测得山顶的仰角为38，沿倾斜角为25。的山坡前进800米后,又测得山顶的仰角为 62，求山的高度（精确到 0.1米）。分析：先根据题意画出示意图（如图 6）, BC为山高，AD为山坡，/ DAC= 25,因为 仰角为视线与水平线的夹角，所以/ BAC= 38, AD= 800米，/ BDB 62
14、,要直接在 Rt ABC中求BC不够条件，必须设法先求出 AB,这就需要根据已知条件，构造直角三角形。解：过 D作 DF丄 AB于 F,在 Rt ADF中，/ DAF= 38 25= 13 , AF= AD- cos / DAF= 800 X 0.9744 = 779.5 ,DF= AD- sin / DAF= 800X 0.2250 = 180.0。在 Rt BDF中，/ DBF= 62 38= 24 , BF= DF - cot / DBF= 180.0 X 2.246 = 404.3 , AB= AF+ BF= 779.5 + 404.3 = 1183.8 ,在 Rt ABC中，BC= AB- sin / BAC= 1183.8 X 0.6157 = 728.8 （米）。答：山高为728.8米。说明：在学过解斜三角形以后，解答本题会有更简捷的方法。说明：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归
