椭圆的光学性质及其应用乌鲁木齐八一中学 曹小玲椭圆的光学性质:证明：如图2,过点P做椭圆的切线I，焦点Fi关于I的对称点F,则反射光线与FP在同一直线上.IPF1I+IPF2F IPF+IPF > IFF2I（当且仅当 即 2a>|FF2|连FF2交椭圆于M,如图3,交I于P',则 |MFi|+|MF2|=2aT|MFi|W |MF|（M、P'重合时“二”成立 为切点）••• 2a< |MF|+|MF2|< |FF2|••• 2a< |FF2|< 2a• |FF2|=2a此时F、P、F2共线，即反射光线过F2由以上证明可知：若椭圆存在切线I，且Fi关于I的对称点F则|FF2|=2a应用：1.已知：Fi(-2,0)、F2 (2, 0)为焦点的椭圆与直线：x+ .3y+4=0有且仅有一个交点，求椭圆的长轴长解：由条件，椭圆与直线：x+、..3y+4=0相切设Fi(-2,0)关于I的对称点F (m,n),切点为P, 则F、P、F2共线=-3_ . 3由对称条件，FiF中点在I上，且FiF丄I,=3从而,|FF2|=|PF|+|PF 2|=|PFi|+|PF2|=2a2a= .〔3 匚 2)2一(丁3)2 =2.7 即长轴长 2 7 .2.电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分 (如图所示)， 灯丝在焦点F2处，而且灯丝与反射镜的顶点 A的距离|F2A|=1.5cm,过焦点且垂直于轴的弦|BC|=5.4cm为了使电影机片门获得最强的光线，灯泡应安在距片门多远的地方？解析：据椭圆镜面的光学性质，从椭圆的一个焦点 射出的光线经过椭圆反射后应聚焦在另一个焦点上，故片门应放在另一个焦点 F1上，因此需要求出 焦距。
解:设焦距|F1F2|=2c,如图所示，知B(c,2.7),由椭圆的定义|BF1|+|BF2|=2|OA| 得：(c c)2 2.72 2.7 = 2(c 1.5)= 2c = 12(cmi二灯泡应安在距片门12米处。