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1、精选优质文档-倾情为你奉上隐式微分方程的解法讨论摘要：隐式微分方程是常微分方程中的一个重要课题，但是在大学时期，我们学习讨论的一般是一阶隐式微分方程，而本文主要就是研究讨论关于一阶隐式微分方程的几种比较常见的解法.关键词：参数；微分法；包络；奇解；克莱罗方程.引言：若要讨论一阶隐式微分方程的解法，首先应该了解隐式方程显示方程之间的联系，然后总结好解析一阶隐式微分方程问题的大致思路.下面，我们首先来了解几种常见的一阶隐式微分方程类型.一阶隐式微分方程的概念与求解思路1. 定义没有就解出的形如F（）=0的方程我们称为一阶隐式微分方程.2. 求解思路 如果能从方程F（）=0中解出那么求解方程就可以归
2、纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程F（）=0的解.例 1 解微分方程 解：将此微分方程的左端分解因式得=0分别解两个微分方程和=，得到的解分别是+和于是我们得到所求微分方程的通解为应当说，例1当中的一阶方程的通解只有一个任意常数，但是在这个通解的表达式中有两个常数和。对于给定两个常数，,要么只有通解表达式两个因子之一为0确定积分曲线，要么两个因子同时为零，这时，两个常数和就不是独立的了.总之，决定积分曲线时，总是只有一个常数起作用.一般来说，很难从方程F（）=0中解出，或者即使解出，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方
3、程类型，这里主要有以下四个类型：1） 2）3） 4）二、可解出y或x的方程的解法1.可解出的隐式方程如果从方程F（）=0中可以解出，那么就可以得到第一种类型在这里假设函数有关于有连续的偏导数.引入参数=，则原方程变为 将上式两边对求导数，并以p代替，这样可以得到 该方程是关于，的一阶显方程 如果求的该方程的通解为=（C）将它代入=（），这样得到原方程的通解为（C） （C为任意常数）如果，方程还有解p=（）把上式代入到=（），那么就得到原方程的相应解=（u（）如果能求得方程的通解F=（pC）=0将它和=（）结合，就能得到原方程参数形式的通解其中p是参数，C是任意常数，如果方程还有解将它和=（）结
4、合，这样得到方程相应的参数形式的解其中为参数.根据上面讨论，为了求解方程,我们引进参数，通过对进行求导数，从而消去，把问题简化成求解关于与的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例2解方程：解：原方程是就解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就解出的方程来求解.原方程就解出可得 令=p，则可得：对上式两边关于求导，用代入则可得 也就是 1）当时，分离变量，可得两边同时积分可得 （为不等于0的常数）或 （c为任意常数）即将上面两个式子代入到可得 （为不等于0的任意常数）或 （c为任意实数）2）当有：把它代入到可得：根据1）、2）即可知，原方程通解为：（c为任意常数）其参
5、数形式的通解可表示为： （，参数；c为任意常数）及例3. 解方程.解：令，原方程可化为，两边同时对求导，可得化简整理之后可得对积分就可以得到上式的通解 （C为任意常数）把它代入到，便可以得到原方程通解 （C为任意常数）又从，便可得原方程一个解，把它代入又可以得到方程一个特解： 应该注意到方程的通解和这个特解它们同时经过点，并且在改点斜率为.做出特解和通解的图形，从下图我们可以知道，在积分曲线上每一点处，都有积分曲线族中的某一条积分曲线在该点与之相切.在几何中，我们称是曲线族的包络.在微分方程中我们称积分曲线对应的解为原解的奇解，奇解对应的曲线上的每一点，至少有方程的两条积分曲线通过. 而作为的
6、一种重要类型，一般我们把形如：的方程称为克莱罗方程，它是关于可以解出的一阶隐式方程，其中二阶连续可微，且.可以利用微分法求解该方程，令，并对求导数可得 即当时，有，因此通解为当时，可得克莱罗方程一个特解通解是一族直线特解是该直线的包络.例 4 求解方程解：该方程克莱罗方程，所以该方程有通解： 以及特解： 消去参数，得到原方程的奇解：所以该方程通解是直线族：，而奇解是通解的包络：.2.可解出的隐式方程（）对于可解出的方程的第二种类型（）该方程的求解方法和方程（）的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数有关于的连续偏导数.引进参数 ，则原式可变为将上式两边对求导数， 并以代入，可得该方程是联
7、系，并且可以根据解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解.如果求的方程的通解形式： （c为任意常数）则原方程（）的通解为： （c为任意常数） 如果求的方程的通解形式为：（为参数，c为常数）则原方程（）的通解为：（为参数，c为常数）如果求的方程的通解形式为：则方程的参数形式的通解为： （为参数，c为任意常数）例5解方程：解：在这里我们可以把原方程当作可就解出的方程来求解，因此就有.令=p，则可得： 对上式两边关于求导，用代入整理可得由，可以求得上式的通解，将它代入到方程，整理后可得原方程通解 再由=0可得的特解原方程的参数表示的特解为三、不显含或的方程的解法1. 不显含的隐式方程如果从几
8、何的观点来看，微分方程的解是平面的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示。对于方程，若其左端不显含，即第三种类型在方程（）中，记.由于不显含，我们不妨把方程看作代表平面上的一条曲线，这样就可以用某种适当的参数来表示该曲线：这里为参数. 而沿方程的任意一条积分曲线上均满足积分的基本关系，将代入该基本关系式可得两边积分可以得到于是可以得到的参数形式通解为例6. 求解方程 解：令，则代入原方程可得 从而可得由，可得 对其积分，可得 因此方程的通解的参数形式为2不显含的隐式方程对于不含的隐式方程其求解方法和的方法基本类似，在这里记，引入参数，
9、将方程表为适当的参数形式根据关系式可得由此得这样就可以得到方程的参数形式通解此外，容易验证，若也是方程的解.例7求解隐式方程解法 1 由原方程可解出，有若，分离变量可得 对它进行积分，则可得原方程通解为 同时根据，可知也是原方程的解.解法 2 方程是不显含的隐式方程，可令，将其代入到原方程中可解出，这样在的情况下，由可得：积分可得原方程通解的参数形式为消去参数，则可得方程的隐式解.另外，当=0是，由原方程可得，因此方程的解还有.解法 3 令，代入原方程可得若，由可得积分可得,可知原方程同通解的参数方程为消去参数可得隐式解，此外根据也可得到解解法 4 令，代入原方程可得并且同时可以得到.若，由可
10、得对其积分可得，则原方程通解为.消去参数，则可得到和前面相同两种方法所得到的相同的隐式解.另外，当时，有解.由例题7的几种解法，我们可以知道，根据入参数的方法差异，得到的解的形式一般也有所不同，但他们包含的解却是相同的.通常说来，只需消去参数，就可以转化为方法1得到的通解的参数形式.致谢：本文在王世球老师的悉心指导下完成！参考文献：李荣华，冯果忱.微分方程数值解法.北京:人民教育出版社，1980周尚仁，权宏顺.常微分方程习题集.北京:人民教育出版社，1980王高雄.常微分方程.北京:人民教育出版社，1983秦化淑，林正国.常微分方程及其应用.北京:国防工业出版社，1985蔡燧林. 常微分方程.杭州:浙江大学出版社，1988 东北师范大学数学系微分方程研究室.常微分方程.高等教育出版社，1995周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用方法、理论、建模、计算机.北京:科学出版社，2003庄万. 常微分方程习题解.济南:山东科学技术出版社，2004石瑞青.常微分方程全程导学及习题全解.中国时代经济出版社(第3版)2007专心-专注-专业
