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1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教学目标一、知识与能力：1 掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；2 掌握平面向量和、差、数乘的坐标运算；3 理解平面向量共线的充要条件的坐标表示.二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题教学重点平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点平面向量基本定理教学时数2课时.第一课时教学过程一、新课导入思考：给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如l1
2、e1+l2e2的向量表示呢？.在平面内任取一点O，作e1，e2，a，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N. 由向量的线性运算性质可知，存在实数l1、l2，使得l1e1，l2e2. 由于，所以a=l1e1+l2e2，也就是说任一向量a都可以表示成l1e1+l2e2的形式. 师生活动设计：由学生作图，并积极思考，教师引导学生发现结论.二、新课讲授1 平面向量基本定理（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数l1、l2，使得a=l1e1+l2e2.把不共线的向量e1、e2叫做表
3、示这一平面内所有向量的一组基底.（2）向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=q(0q180)叫做向量a与b的夹角，当q=0时，a与b同向；当q=180时，a与b反向.如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.例1 已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2。解： 例2 如图在基底e1、e2下分解下列向量：解：，2 平面向量的正交分解及坐标表示（1）正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（2）向量的坐标表示思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？在直
4、角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得a=xi+yj，把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，显然，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).（3）向量与坐标的关系思考：与a相等的向量坐标是什么？向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同）当向量起点被限制在原点时，作=a，这时向量的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量的坐标，二者之间建立的一一对应关系.三、概念巩固例2 如图，分别用基底i、j
5、表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.解：a=2i+3j=(2,3),b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3).例3 在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标.解：设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，c=(c1,c2)，则a1=|a|cos45=，a2=|a|sin45=;b1=|b|cos120=，b2=|b|sin120;c1=|c|cos(-30)=，c2=|c|sin(-30)=,因此.练习1：如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标.解：a
6、=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)，c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).练习2已知是坐标原点，点在第一象限，求向量的坐标.解：设点，则即，所以.四、小结与作业1 平面向量基本定理；2 平面向量的正交分解；3 平面向量的坐标表示.布置作业习题2.3 A组 1，B组3第二课时一、复习回顾1 平面向量基本定理；2 平面向量的正交分解；3 平面向量的坐标表示.二、讲授新课1 思考：已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，你能得出a+b，a-b，la的坐标吗？a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y
7、2)j=(x1+x2,y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)，la=l(x1i+y1j)=lx1i+ly1j=(lx1, ly1)，已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x2,y2-y1).2. 平面向量的坐标运算法则（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.例1 已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(
8、-1,5)，a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)，3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).例2 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标.解：设顶点D的坐标为(x,y)，因为=(-1-(-2),3-1)=(1,2)，=(3-x,4-y)，由，得(1,2)=(3-x,4-y)，所以，故顶点D的坐标为(2,2).3思考：如何用坐标表示两个共线向量？设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b0，a、 b共线，当且仅当存在实数l，使a=lb，即(x1,y1)= l(x2
9、,y2)，x1=lx2，y1=ly2，消去l后得，x1y2-x2y1=0.4平面向量共线的坐标表示当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b0)共线.例3 已知a=(4,2)，b=(6,y)，且a/b，求y.解：a/b，4y-26=0，y=3.例4 已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的关系.解：，又，故，直线、直线有公共点，所以A、B、C三点共线.例5 设点P是线段P1、P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)，（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.解：（1），所以点P的坐
10、标为（2）如果，那么所以点P的坐标是同理，如果说 ，那么点P的坐标是三、强化与巩固练习1：已知a=(3,2)，b=(0,-1)，求-2a+4b，4a+3b的坐标. （(-6,-8)，(12,5)）练习2：已知：A(2,3)，B(-1,5)，且，求点C、D 、E的坐标. （）练习3：已知三点A(1,1)，B(-1,0)，C(0,1)，求另一点D(x,y)，使. （）.练习4：若三点A(1,1)，B(2,-4)，C(x,-9)共线，求x的值. （x=3）练习5：已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求向量a、b的坐标. （a=(-1,2)，b=(-2,-1)）四、小结与作业1平面向量的坐标运算法则2平面向量共线的坐标表示3 利用向量思想证明点共线的方法.布置作业课本P111 练习1、2、3、4、5、6、7
