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1、最新资料中考数学 第12讲 圆心角与圆周角【今日目标】1、牢记圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理(即四量定理)、圆周角定理及其推论;2、熟练运用四量定理、圆周角定理进行圆的有关计算与推理。【知识点击】1、圆的旋转不变性:把圆绕着圆心旋转 角度,都与原来的图形重合,我们把这种性质称为圆的 。则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(即四量定理):在 中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个 、 、 或 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等3、圆心角度数定理:圆心角的度数和它所对的弧的度数
2、。4、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。5、 圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径。【典例精析】考点1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理的基本理解【例1】1、下列说法:在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等; 同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等; 等弧所对的圆周角相等; 圆心角相等,所对的弦相等,其中正确的说法有( )A1个 B2个 C3个 D4个2、如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8, BAC= BOD,
3、则O的半径为 。3、如图,在圆O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,已知:圆O半径为,tanABC,则CQ的最大值是 。变式训练:1、已知和是同圆中的两条弧,且, 那么弦CD与2AB的大小关系为 。2、.如图,AB为O的直径,点P为其半圆上一动点(不与A,B重合),点Q为另一半圆上一定点,若POA=x,PQB=y,则y与x的函数关系是 。3、如图,点A,B,C,D为O上的四个点,AC平分BAD,AC交BD于点E,CE=4,CD=6,则AE的长为 。4、如图,弧BE是半径为 6 的D的圆周,C点是弧BE上的任意一点, ABD是等边三角形,则四边形A
4、BCD的周长P的取值范围是 . 2小题图 3小题图 4小题图5、在O中,BC是弦,OCB40,A是圆上的一动点(点A不与B、C重合),则A的度数等于 。6、在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(6,0),点C是y轴上的一个动点,当BCA=45时,点C的坐标为 考点2、运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理进行有关计算与证明【例2】如图O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F,使BE=DF (1)求证:EF的垂直平分线必过圆心 (2)若AB与CD在O内相交于P,同样延长AB、CD,使BE=DF,那么是否还有(1)中相同的结论,请说明理由(如图2) 图1 图2【例3】如图,A
5、B是O的弦,CP为O的直径,且P为弧AB的中点,过点C任作一弦CF交AB于点E。(1)求证:;(2)连结BP,若BD:CD=2:3,求sinBPD的值。【例4】如图,AD是ABC的角平分线,以点C为圆心,CD为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且B=CAE,EF:FD=4:3(1)求证:点F是AD的中点;(2)求cosAED的值;(3)如果BD=10,求半径CD的长变式训练:1、如图:O是ABC的外接圆,D为弧AC的中点,BD交AC于E,求证:CD是DE和DB的比例中项;当CD,O到AC的距离为1时,求O的半径。2、已知:在ABC中,以AC边为直径的O交BC于点D,在劣
6、弧AD上到一点E,使EBC=DEC,延长BE依次交AC于G,交O于H(1)求证:ACBH;(2)若ABC=45,O的直径等于10,BD=8,求CE的长【例5】如图,已知A、B、C、D是O上的四等分点,O的半径为4cm, 以AB为边在四边形ABCD内作等边ABQ, P是四边形ABCD的对角线AC上一动点,求PD+PQ的最小值。变式训练:如图,已知O的半径为R,CD是直径AB同侧圆周上的两点弧AC的度数为96 o,弧BD的度数为36o,P是直径AB上的一动点 ,则PC+PD的最小值为 。(用含R的式子表示)【思维拓展】【例6】正方形ABCD的四个顶点都在O上,E是O上的一点。(1)如图,当点E在弧
7、AB上时,求证:DEBE= AE;(2)如图,当点E在弧AD上时,是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由。 图 变式训练: 图如图,在中,是的中点,以为直径的O交的三边,交点分别是点的交点为,且,(1)求证:;(2)求的O直径的长;(3)若,以为坐标原点,所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,求直线的函数表达式【例6】如图,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,经过A、B、C三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上,M的半径为,设M与轴交于D,抛物线的顶点为E。求的值以及抛物线的解析式;设DBC,CBE,求的值;探究:坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形
8、与BCE相似?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由。【众里寻她】1下面命题中,正确的命题个数为( ) (1)顶点在圆周上的角是圆周角 (2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半 (3)90的圆周角所对的弦是直径 (4)圆周角相等,则它们所对的弧也相等 A1个 B2个 C3个 D4个2、如图1,O的半径OD弦AB于点C,连结AO并延长交O于点E,连结EC若AB=8,CD=2,则EC的长为( )A2B8C2D23、如图2,ABC内接于O,BAC=120,AB=AC,BD为O的直径,AD=6,则DC= 图1 图2 图34、如图3,AB是半圆直径,半径OCAB于点O,AD平分CAB分别交OC于点E
9、,交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:SAEC=2SDEO;AC=2CD;线段OD是DE与DA的比例中项;其中正确结论的序号是 5、如图5,A、B、C是O上的三点,以BC为一边,作CBD=ABC,过BC上一点P,作PEAB交BD于点E若AOC=60,BE=3,则点P到弦AB的距离为 。6、如图,在已知O中弧AB=弧AC,P是弧AB上的一点,且APC=60。(1)试判断ABC的形状,并说明理由;(2)若BC=4cm,求O的面积。7、如图,AB是ABC的外接圆O的直径,D是O上一点,DEAB于点E,且DE的延长线分别交AC、O、BC的延长线于F、M、G(1)求证:AEBE=EFEG;(2)连接BD,若BDBC,且EF=MF=2,求AE和MG的长 8、如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交AC于点E,交BC于点D,连结BE、AD交于点P. 求证:(1)D是BC的中点;(2)BEC ADC;(3)AB CE=2DPAD9、如图,在O的内接ABC中,AB+AC=12,ADBC ,垂足为 D ,且AD=3,设O的半径为y,AB的长为x。(1)求y与x的关系式;(2)当AB的长等于多少时,O的面积最大?最大面积是多少?