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1、河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.已知全集U=R，则 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案【详
2、解】全集U=R，M=x|x22x=x|0x2，UM=x|x0或x2，故选：C【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图： 2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，201
3、8年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线
4、人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】【分析】由及公差为2.代入前项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由及公差为2.得.所以，故.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，若时，则时，A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（
5、x）的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.
6、【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可.【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，.所以.因为平面，所以.同理，.因为，所以.又与不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三
7、角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【详解】在中，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利
8、用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线 有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，所以，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查
9、双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，
10、三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知实数，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】可行域如图所示，当直线经过点时，取得最小值.解方程组可得点，所以.故填.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思
11、想方法，是中档题14.已知数列，若数列的前项和，则的值为_.【答案】16【解析】【分析】据题意，得，所以当时，.两式相减，可求出当时，由此可求的值.【详解】据题意，得，所以当时，.两式相减，得.所以当时，故.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，属基础题.15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有_个.【答案】120【解析】【分析】10个元素进行全排列共有 种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了 次，得到不同的排列共有种结果【详解】10个元素进行全排列共有 种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全排列就
12、出现了重复，共重复了 次，得到不同的排列共有种结果 故答案为120.【点睛】本题考查在排列组合中出现重复的元素的排列，这种问题，首先要进行正常排列，后面要除以重复的次数，重复的次数是相同元素的一个全排列16.已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】据题意知，函数的图像关于直线对称，则曲线也关于直线对称，可求出，再根据函数的单调性可求的最大值.【详解】据题意知，函数的图像关于直线对称，则曲线也关于直线对称，所以，.所以，.因为，所以.所以.又与在区间上都为减函数，所以.即答案为4.【点睛】本题考查函数单调性和对称性的综合应用，属中档题.三、解答题：共70分。解答
13、应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.如图，在中，是边上的一点，.（1）求的长；（2）若，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求的长；（2）由（1）知，所以在中，由正弦定理. 可得. 再判断是锐角， 可得得值.【详解】（1）由已知，得 又，在中，由余弦定理，得， 整理，得.解得. （2）由（1）知，所以在中，由正弦定理.得， 解得. 因为，所以，从而，即是锐角， 所以.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用.属中档题.18.在中，分别为，的中点，如图1.以为折痕将折起
14、，使点到达点的位置，如图2. 如图1 如图2（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）在题图1中，可证 ，在题图2中，平面.进而得到平面.从而证得平面平面；（2）可证得平面. .则以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得. 又因为为的中点，所以 在题图2中，且，所以平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.所以平面. 又因为平面，所以.以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系在题图1中，设，则，.则，.所以，. 设为平面的法向量，则，即令，则.所以.
