《概率论完整第19讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论完整第19讲（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：假设假设P(AB)=P(A)P(B)那么称事件那么称事件A,B独立独立.设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有 则称则称X,Y相互独立相互独立.两随机变量独立的定义是：两随机变量独立的定义是：用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互独立相互独立.它说明，两个它说明，两个r.v相互独立时，它们的联合相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等
2、于两个边缘分布函数的乘积.其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X,Y相互独立相互独立.对任意的对任意的 x,y,有有 假设假设(X,Y)是连续型是连续型r.v，那么上述独，那么上述独立性的定义等价于：立性的定义等价于：这里这里“几乎处处几乎处处成立成立”的含义是：的含义是：在平面上除去面在平面上除去面积为积为0的集合外，的集合外，处处成立处处成立.分别是分别是X的的边缘密度和边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度.假设假设(X,Y)是离散型是离散型r.v，那么上述独立，那么上述独立性的定义等价于：性的定义等价于：则称则称X和和Y相互独立相互独立.对对(X,
3、Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有 例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解：解：x0 即：即：对一切对一切x,y,均有：均有：故故X,Y 独立独立y 0 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？解：解：0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故X和和Y不独立不独立.例例2 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在
4、12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟钟的的概概率率.又又甲甲先先到到的的概率是多少？概率是多少？解解:设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)所求为所求为P(|X-Y|5)及及P(XY)解解:设设X为甲到达时刻，为甲到达时刻，Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点，以分为单位，依题意，时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45),YU(0,60)甲先到甲先到的概率的概率由
5、独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率解一：解一：P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)=1/6=1/2P(XY)解二：解二：P(X Y)P(|X-Y|5)类似的问题如：类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的等可能的.假设甲船需停泊假设甲船需停泊1小时，乙船需停小时，乙船需停泊泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率中一艘船要等
6、待码头空出的概率.在在某某一一分分钟钟的的任任何何时时刻刻，信信号号进进入入收收音音机机是是等等可可能能的的.假假设设收收到到两两个个互互相相独独立立的的这这种种信信号号的的时时间间间间隔隔小小于于0.5秒秒，那那么么信信号号将将产产生生互互相干扰相干扰.求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a的线段在任意两点折断的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的成为三线段，求它们可以构成三角形的概率概率.长度为长度为a 随随机机变变量量独独立立性性的的概概念念不不难难推推广广到到两个以上两个以上r.v的情形的情形.见教材见教材定定理理1 假假设设连连续续型
7、型随随机机向向量量X1,Xn的的概概率率密密度度函函数数f(x1,xn)可可表表示示为为n个个函函数数g1,gn之积，其中之积，其中gi只依赖于只依赖于xi，即，即 f(x1,xn)=g1(x1)gn(xn)那那么么X1,Xn相相互互独独立立,且且Xi的的边边缘缘密密度度fi(xi)与与gi(xi)只相差一个常数因子只相差一个常数因子.最后我们给出有关独立性的两个结果：最后我们给出有关独立性的两个结果：定理定理2 假设假设X1,Xn相互独立相互独立,而而 Y1=g1(X1,Xm),Y2=g2(Xm+1,Xn)那么那么Y1与与Y2独立独立.这一讲，我们由两个事件相互独立的这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握件，希望同学们牢固掌握.如果两个随机变量不独立，讨论它们如果两个随机变量不独立，讨论它们的关系时，除了前面介绍的联合分布和边的关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘分布外，有必要引入条件分布的概念，缘分布外，有必要引入条件分布的概念，这将在下一讲介绍这将在下一讲介绍.
