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1、高中数学选修(2-1)空间向量与立体几何测试J一、选择题1. 若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向屋的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是()A. 一个圆 B. 一个点 C.半圆D.平行四边形答案：A2. 在长方体ABCD-ABGU中，下列关于AC；的表达中错误的一个是()A . AAj + 入坊 + 人2B . AB + DD、+c. aD + CC； + D&；D.+答案：B3. 若a, b, c为任意向量，疋R,卜-列等式不一定成立的是()A. (a + b) + c= a + (b + c)B . (a+b)c =+ bcC . m(q + b) = nia + mb
2、D (a9b)9c = a9(fi9c)答案：D4若三点A B, C共线，P为空间任意一点，RPA + aPB = j3PC ,则q-0的值为()A1B一1 C丄D一22答案：B则心等于(D.里95.设a = (x,43 方= (3,2, z) 且A _4 B. 9C. 9答案：B6.已知非零向量引勺不共线，如果AB = el+e2,AC = 2e2+8e2fAD = 3e3e2 ,则四点A. B, C, D ()A . 一定共圆B. 恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面答案：c7如图1,空间四边形ABCQ的四条边及对F, G 分别是 A8 AD. CD )B. 2AD-B
3、DD. 2EF C(3,7,-5),则顶点D的坐标为( )A. (f，4TB. (2,41)C. (2,14,1)D. (5,13, 3)答案：DA60B. 9011.在正方体ABCD-ABCU中，O为AC,加的交点，则CQ与人所成角的( C. arccosD. arccos36答案：D12给出下列命题： 己知“丄b,则ab + c) + c*(b-a) = b*c : A B, M, N为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么A B, M, N共面; 已知a丄b，则a，与任何向量都不构成空间的一个基底； 若a, b共线，则a, b所在直线或者平行或者重合.正确的结论的个数为()A. 1B.
4、2C. 3D. 4答案：C 二、填空题13.已知a = (3J,5), = a2, 3),向量c与乙轴垂直，且满足cw = 9, cb = 4,贝ljc =答案:三里,05514. 己知4 8 C三点不共线，O为平面A3C外一点，若由向量OP = -OA + -OB + WC确53定的点P与人B, C共面，那么几=.答案：1515. 已知线段丄面q, BCucc, CD丄BC, DF丄面a于点F, ZDCF = 30 ,且D A在平面Q的同侧，若AB = BC = CD = 2,则AD的长为.答案：2忑16. 在长方体ABCD-AC.D,中，和GD与底面所成的角分别为60和45 ,则异面直 线
5、B.C和QD所成角的余弦值为答案：4三. 解答题17. 设a = 2i-j + k9 a2=i + 3j-2k.角= -2i+j_3k, a4=3i + 2j + 5k ,试问是否存在实 数兄，“，v 使a4 = Aa + /a: + va3成立？如果存在，求出兄，“ v :如果不存在，请写出 证明.答案：解：假设a4 =+ pa2 +va3成立. = (Z - Ll a2 = (1,3, 一 2a3 = (一2丄一 3 a4 = (3,2,5),/.(22 + / 2v, A + 3/z + v, 2-2“一3v) = (325)2几 + “ 一 2v = 3,八A + 3/z + v =
6、2 解得 GEBD = 0,得 d = l,H则 人(202), A(2,0,0), E(LL1)自人作人/7丄面迪)于必，并延长交疋y面于H，设H(x, y,0),则瓦帀= (x-2，尹一 2).又 AD = (一2,0,1), AE = (-LL1)由丄八AH 丄 AE_2(x_2)_2 = 0, -(x 一 2) + y - 2 = 020.己知正方体ABCDA.B.Cfi,的棱长为2,只0分别是3G CD上的动点，且|P0| = 2 ,确定只0的位置，使0坊丄pq.解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP = f, 得CQ =(2-(2-/)，, DQ = 2 (2_(2-/)-.那么
7、耳(2,(X29(022), P(2, A0 Q(2-y2(292,0), 从而 QB； = (J2_(2_f)： 一 2,2), PD = (-2,2 72),由QB丄PD严近码=0.即-2(2_(2_厅 -2(2-/) + 4 = 0=/ = 1故只Q分别为BC, CD的中点时，QBPD 21.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中，ZABC = 90 弘丄面ABCD ,SA = AB = BC = L AD =丄，求面SCD与面SB4所成二面角的正切图42值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), j 0,|,0 , S(
8、0,0,l).延长CQ交x轴于点F,易得F(l,0,0),作AE丄SF于点E,连结DE, 则ZDEA即为面SCO与面SBA所成二面角的平面角I I 又由于必=AF且曲丄AF,得E 一,0,_ ,U 2)那么 囲一丄,0,丄,ED = 一丄丄，一丄,从而迹怦吟誰普I 22) 2 2 2)因此 tan EAF,ED、= 故面SCO与面切所成二面角的正切值为当.22平行六面体ABCDfBCU的底面ABCD是菱形，且ZQCB = ZQCD = ZBCD 9试问: 当岁的值为多少时，AC丄面C/D?请予以证明.欲证AC丄QD,只须证CACfi = 0 ,解：欲使ac丄面cfiD,只须ac丄cp,且ac丄
9、C0.即+亦)阿-凤)=0 ,也就是(CD + CB + CC；)(CD 一 CC) = 0 ,即阿-応+1西阿cos ZBCD 由于 ZC；CB = ZBCD,显然，当|cd| = |cc；|时，上式成立:AC丄c/同理可得，当|cd|=|cc；|时，CD因此，当=1时，AC丄面C、BD V* V/i一选择题：（10小题共40分）1.己知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点0,下列条件中能确定点M与点A、B、C定共面的是A. OM =OA + OB + OC()B OM =2OA-OB-OCC而刀+亦况2直三棱柱 ABC-AxB：G 中，若CA = aCB = bCC=C.则瓦万=(
10、)A. a +b-cB. a-b + cC. -a + b + cfffD. -a + b-c3若向量mffi直向咸和向量7?=加+历（入“ W尺且、“工0）则（）A. m/n B.加丄 C.不平行于n,也不垂直于nD.以上三种情况都可能4.以下四个命题中，正确的是（）A.若 OP=-OA+OBP. A、B 三点共线23c+a构成空间的另一个基底B.设向量是空间一个基底，贝叽：+5, b+c,C.（a - fc）c| = |a| - p| 卡D. A ABC是直角三角形的充要条件是屈疋=05.对空间任意两个向量a,b（bo）.a/b的充要条件是K. a = bC b = ActD a = Ab
11、6己知向B.a = （02）Z = （-1J-2）,贝1厉与5的夹角为A. 0B. 45C. 90D. 1807在平行六面体ABCD-AC中，M为AC与BD的交点，若 I # f I fAlB = a, AlDl = b、AA = c,则卜列向量中与相等的是1-一1 -1 -1 -1 -f一A. -a + b + cB. -a + -b + -c C. -a-b + c D.-a-b + c22222222 228 己知 a = (A += (6,2/ -1,2),若a / b,则几与“的值分别为()1 - 21 - 5A.25 B.9己知a = 3i + 2j-k,b = -J + 2k,贝悅与痂勺数量积等于AT5B. -5C.-3D.-110在棱长为1的正方体ABCDAxBxCiDi中,M和N分别为Ab和BB】的中点,那么直线AM与所成角的余弦值是2A.52B. 一53C.-3廻10二填空题：(4小题共16分)11若 A(m+1, nl, 3), B(2m, n, m2n), c (m+3, n-3, 9)三点共线,则 m+n= 12.己知1 A(0, 2, 3), B (-2, 1, 6), C(l, -b 5
