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1、九n维欧氏空间上的整点该如何数(二)山东枣庄二中赵录(emall：)在n维欧氏空间上的整点该如何数(一)中只讨论了维数最多是6的欧氏空间整点的数法下面讨论一般的方法对于n维欧氏空间上的整点A(a1,a2,a3,an)(a1,a2,a3,anN),设w=max|a1|,|a2|,|a3|,|an|我们已经知道点A在以原点为中心,棱长为2w的n维正方体的表面上而且在每条棱上有2w+1个整点因此在这个n维正方体的内部及表面上共分布有(2w+1)n个整点其内部的整点分布在一个棱长为2w-1的n维正方体的内部及表面上，且每条棱上有2w-1个整点而(2w+1)n+1=(2w-1)+2n =(2w-1)n+
2、2(2w-1)n-1 +22(2w-1)n-2+22 (一)即(一个)n维正方体有：2个(n-1维的)面(为n-1维的正方体), 22个n-2维棱面,2n-2个2维棱面(为正方形),2n-1个(1维棱面)棱,2n个(零维棱)顶点前面得到的n维正方体的各维棱面的个数的结论还可以用数学归纳法证明：1、线段可以看作是“一维正方体”，两个端点可看作是两个“面”；2、将线段向与它垂直的方向平移，平移距离是线段长a，两个端点平移的轨迹是两条线段，再加平移前后的两条线段，构成了正方形(可看作是二维正方体)的四(2=4)条边(可看作是四个一维面)，平移前后的两条线段，共22=4个端点就是正方形的四个顶点(四个
3、零维棱面)；3、把正方形沿与它所在平面垂直的方向平移距离a，四个顶点平移形成的4条线段与平移前后两个正方形的8条边，就构成了(三维)正方体的12=22条(一维)棱(面)，正方形的每条边平移形成的四个正方形与平移前后的两个正方形就是三维正方体的6=2个面，平移前后的两个正方形共8=23个顶点就是正方体的8个顶点4、假设n维正方体Vn的m(0m0)：a0=(-a,-a,-a,-a)a1=(2a,0,0,0)a2=(0,2a,0,0) an-1=(0,0,0,2a,0)an=(0,0,0,2a)则向量式方程(显然a1,a2,a3,an线性无关)r=a0+k1a1+k2k2+knan (0ki1,i=
4、1,2,3,n)表示的就是以原点为中心，棱长为2a的n维正方体Vn当k1,k2,kn中有m(1mn)个取值集合为0,1，其余n-m个ki的取值集合为区间0,1，此时方程表示的是Vn的n-m维棱面Vn-m从而有Vn的n-m维棱面Vn-m的个数为2m下面给出这2m个n-m维棱面Vn-m的一个排序方法设P(p1,p2,p3,pn)为n-m维棱面Vn-m上的整点，则p1,p2,p3,pn中有且只有m个的绝对值为a，其余的n-m个pi的绝对值都小于a即是从n个数字p1,p2,p3,pn中取出m个数字的组合数对于p1,p2,p3,pn中取出m个数字的任意两个不同的组合(i1i2im)与(j1j2jm)当i
5、1j1时组合排在组合前(前面的序号小)，当ik=jk(k=1,2,m-1), ik+1k，那么当a=5,6,7,8时必有mk当a=5时，b,c的取法共有=10；当a=6时，b,c的取法共有=6；当a=7时，b,c的取法共有=3；当a=8时，b,c的取法只有一种9,10因此当a=5,6,7,8时，共有10+6+3+1=20个组合的序号大于k当a=4时，b=8,9才有mk，即只有组合4,8,9 4,8,10 4,9,10的序号大于k当a=4，b=7时，只有c=10，即只有组合4,7,10的序号大于k由此可知共有20+3+1=24个组合的序号大于k，因此k=120-24=96，即组合4,7,9的序号
6、为96例1验证了推导的计算k的公式(二)是正确的下面再给出组合所对应的那类2m个n-m维棱面的一个排序方法用2进制自然数表示当皆为负整数时令其序号为1即(-,-,-)1+0(+,-,-)1+1 称为第一个位置为正,其余位置皆负;(-,+,-,-)1+102 (表示10为2进制自然数,即21=2)称为第二个位置为正,其余位置皆负;(+,+,-,-)1+112称为第一，二个位置为正,其余位置皆负; 因此如果，第j1,j2,jp个位置为正，其余皆为负，则这个“符号向量”对应的十进制自然数为 (三)例2设依次为-9,9,-9,-9,9,9,-9,-9,9,-9(m=10)，则组合-9,9,-9,-9,
7、9,9,-9,-9,9,-9在所有10个数的绝对值为9的(元素可重)组合中其序号为：1+2+24+25+28=1+2+16+32+256=307在中序号最大的组合为9,9,9,9,9,9,9,9,9,9，其序号为：1+20+21+22+23+29=1+(210-1)/(2-1)=210由此可知公式(三)也是正确的设P(p1,p2,p3,pn)为n-m维棱面Vn-m上的整点，且 max| p1|,|p2|,|p3|,|pn|其中 p1,p2,p3,pn，又=P且的符号皆为正，P中的其余整数符号皆为负那么点A(p1,p2,p3,pn)在n的一个n-m维棱面P上按公式(一)(二)给出的排序方法知,棱
8、面P在所有的n-m维棱面中的序号为： 2m(-+-+)+ (四)例3求10维欧氏空间点P(3,-2,0,-5,-3,-3,2,3,0,-3)的编号解：设点P的编号为k，由点P的坐标知，点P在棱长为10的正方体的一个(9维面内)，则正方体内部的910=3486784401个点的序号均小于k而m=1,i1=4，符号向量为(-)，因此点P所在面V9的序号为21(10-7)+1=7，那么前6个(9维)面共有699=2324522934个点的序号小于k点P在V9内的坐标相当于P(3,-2,0,-3,-3,2,3,0,-3) (V9的棱长为6，即每条棱上有7个点)，且n=9,m=5那么V9内部的点及维数大
9、于9-5=4的面及棱面上的点的序号均小于k由公式(一)知又有59+2C58+22C57+23C56+24C55=37034375个点的序号小于k设点P在V9的四维棱面V4上，则V4对应的参数依次为：i1=1,i2=4,i3=5,i4=7,i5=9,j1=1,j2=4，从而V4在V9的四维棱面中的序号为：25 (C- C+ C- C+ C- C+ C- C+ C- C)+1+20+23 =32(8765/24-65/2+43/2-3+2-1)+10=1898因此排在V4前面的1897个V9的四维棱面上共有189754=1185625个点的序号小于k点P在V4上的坐标相当于P(-2,0,2,0)，
10、可知点P在V4(每条棱上有5个点)的一个二维棱面V2上，因此的内部及“三维”面上的34+2C33=297个点的序号小于k因为i1=1,i2=3,j1=2，因此V2的序号为22(C-C+C-C)+1+2=7，从而又有632=54个点的序号小于k点P在正方形V2上的坐标相当于P(-2,2)，即是四个顶点(-2,-2),(2,-2),(-2,2),(2,2)中的第三个(相当于n=2,m=2,i1=1,i2=2,j1=2，零维棱面即点P的序号为：22(C-C+C-C)+1+22-1=3)，从而也是V2上的52=25个整点的第24个因此序号小于k的整点的个数为3486784401+2324522934+
11、37034375+1185625+297+54+23=5849527709，从而点P的编号为5849527710例3的解题过程，可视为降维过程“降到点的坐标分量只剩下一个绝对值大于零的几个或绝对值大于零且相等”时，才可最后计算出这个点的编号，因为这时已经是棱面的顶点，或线段(棱)的端点例在12维空间内，已知点P的编号为21012，求点P的坐标解：设点P的坐标为P(p1,p2,p9)因为912282429536481，11123138428376721，因此点P在棱长为5的12维正方体V12的表面上又而912+212911+2298/2910=1956086048961912+212911+221211/2910+23121110/6992637946109601又因为9
