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1、 第二节 方差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它表达了随机变量取值的平均水平，望，它表达了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的够的.例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图：假设让你就上述结果评价一下两台仪器的假设让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？优劣，你认为哪台仪器好一些
2、呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它用它来度量随机变量取值在其中心附
3、近的离散来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差一、方差的定义一、方差的定义 采用平方是为了保证一切采用平方是为了保证一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它与由于它与X具有相同的度量单位，在实具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用际问题中经常使用.方差的算术平方根方差的算术平方根 称为标准差称为标准差设设X是是一一个个随随机机变变量量，若若E(X-E(X)2，则则称称D(X)=EX-E(X)2 (1)为为X的方差的方差.假设假设X的取值比较分散，那么方差较大的取值比较分散，那么方差较大.假
4、设方差假设方差D(X)=0,那么那么r.v X 以概率以概率1取常数取常数值值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度期望的离散程度.假设假设X的取值比较集中，那么方差较小；的取值比较集中，那么方差较小；D(X)=EX-E(X)2X为离散型，为离散型，P(X=xk)=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量X的函数的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望的数学期望.X为连续型，为连续型，Xf(x)二、计算方差的一个简化公式二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2
5、XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质请自己用此公式计算常见分布的方差请自己用此公式计算常见分布的方差.例例1 设设r.v X服从几何分布，概率函数为服从几何分布，概率函数为P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,，n其中其中0p0,或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越越小，则事件小，则事件|X-E(X)|的概率越大，即的概率越大，即随机变量随机变量X集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度它刻
6、划了随机变量取值的离散程度.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于与它的期望的偏差不小于 的概率的估的概率的估计式计式.如取如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则存在，则 r.v X取值偏离取值偏离E(X)超过超过 3 的的概率小于概率小于0.111.例例5 正常男性成人血液中，每一毫升白细正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是胞数平均是7300，均方差是，均方差是700.利用切比利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率
7、.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(5200-7300 X-7300 9400-7300)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|2100即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的之间的概率不小于概率不小于8/9.例例6 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时
8、，需要多么大时，才能使得在才能使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A出现的出现的频率在频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的的最小的n.那么那么 XB(n,0.75)所求为满足所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n)=P|X-E(X)|0.01n P(0.74n X0.76n)可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则，则=P|X-E(X)|0.01n解得解得依题意，取依题意，取 即即n 取取18750时，可以使得在时，可以使得在n次独立重复次独立重复试验中试验中,事件事件A出现的频率在出现的频率在0.740.76之间的之间的概率至少为概率至少为0.90.这一讲，我们介绍了随机变量的方差这一讲，我们介绍了随机变量的方差.它是刻划随机变量取值在其中心附近离它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征散程度的一个数字特征.下一讲，我们将介绍刻划两下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程间线性相关程度的一个重要的数字特征：度的一个重要的数字特征：相关系数相关系数
