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1、第三第三章章 多维随机变量多维随机变量从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其及其分布分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位
2、置是由命中点的位置是由一对一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三三个坐标来确定的等等个坐标来确定的等等.一一般般地地，我我们们称称n个个随随机机变变量量的的整整体体X=(X1,X2,，Xn)为为n维维随随机机变变量量或或随随机机向量向量.以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照.1离散型二维随机变量1定义：定义：3)二维离散型随机变量联合分布律的性质二维离散型随机变量联合分布律的性质2 2、联合分布函数联合分布函数1定 义2 2二元分布函数的几何意义二元分布函数
3、的几何意义yo(x,y)(X,Y)3分布函数具有以下的根本性质：分布函数具有以下的根本性质：1F(x,y)是变量是变量 x,y 的不减函数，即的不减函数，即对于任意固定的对于任意固定的 y,当当 x1 x2时，时，对于任意固定的对于任意固定的 x,当当 y1 y2时，时，对于任意固定的对于任意固定的 y,且且 对于任意固定的对于任意固定的 x,3 3 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),)=F(x,y+0),即即 F(x,y)F(x,y)关于关于 x x 右连续，关于右连续，关于 y y 也右连续也右连续.1定义：定义：对
4、于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)分布函数分布函数 F(x,y)，如，如果存在非负函数果存在非负函数 f(x,y)，使得对于任意的，使得对于任意的 x，y有：有：那么称那么称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数是连续型的二维随机变量，函数 f(x,y)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为的概率密度，或称为 X 和和 Y 的联合概率密度。的联合概率密度。3 3、二维连续型随机变量、二维连续型随机变量2)概率密度概率密度的的性质：性质：40 设设 G 是平面上的一个区域，点是平面上的一个区域，点(X,Y)落在落在 G 内内 的概率为：的概率为：Important f
5、ormula 在几何上在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式表示空间的一个曲面，上式即表示即表示 P(X,Y)G的值等于以的值等于以 G 为底，以曲面为底，以曲面 z=f(x,y)为顶的柱体体积为顶的柱体体积.二维随机变量（二维随机变量（X,Y）联合分布联合分布离散型离散型i,j=1,2,X和和Y 的联合概率函数的联合概率函数 k=1,2,离散型离散型一维随机变量一维随机变量Xk=1,2,X的概率函数的概率函数 连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的密度函数的密度函数 f(x)二维随机变量（二维随机变量（X,Y）连续型连续型X和和Y 的联合密度函数的联合密度函数二维随机变量（二
6、维随机变量（X,Y）X和和Y的联合分布函数的联合分布函数X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三为三次抛掷中正面出现的次数，而次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率函数的概率函数.解：解：X,Y可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下列表如下 二维联合分布全面地反映
7、了二维随机变二维联合分布全面地反映了二维随机变量量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律.而单个随机变而单个随机变量量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布.那么要问那么要问:二者之间有什么关系呢二者之间有什么关系呢?从表中不难求得从表中不难求得:P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意这两个分布正好是注意这两个分布正好是表表2的行和与列和的行和与列和.如下表所示如下
8、表所示 我们常将边缘概率函数写在联合概率我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词个名词.边缘分布也称为边沿分布或边际分布边缘分布也称为边沿分布或边际分布边缘分布的定义：边缘分布的定义：联合分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.一般，对离散型一般，对离散型 r.v(X,Y)，那么那么(X,Y)关于关于X的边缘概率函数为的边缘概率函数为(X,Y)关于关于Y 的边缘概率函数为的边缘概率函数为X和和Y 的联合
9、概率函数为的联合概率函数为 对连续型对连续型 r.v(X,Y)，X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为那么那么(X,Y)关于关于X的边缘概率函数的边缘概率函数为为(X,Y)关于关于Y的边缘概率函数为的边缘概率函数为 对任意对任意r.v(X,Y)，X和和Y的联合分布函数为的联合分布函数为那么那么(X,Y)关于关于X的边缘分布函数为的边缘分布函数为(X,Y)关于关于Y的边缘分布函数为的边缘分布函数为例例 2 2例例 3 3x+y=1x=1y=2例例 3 3续续例例4 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求(1)c的值；的值；2两个边缘密度。两个边缘密度。=5c/24=1,c=24/5解：解：
10、(1)由由确定确定C例例4 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解:(2)求求 (1)c的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x例例4 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解:(2)求求 (1)c的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x即即练习：设随机变量X,Y具有以下概率密度求其中的未知参数c,并求关于X和关于Y的边缘概率密度。在在求求连连续续型型 r.v 的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要要求求联联合合密密度度在在某某区区域域上上的的积积分分.当当联联合合密密度
11、度函函数数是是分分片片表表示示的的时时候候，在在计计算算积积分分时时应应特特别注意积分限别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布.设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，其其面面积积为为A.假设二维随机变量假设二维随机变量 X,Y具有概率密度具有概率密度那么称那么称X,Y在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点，假假设设质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关.那那么质点的坐标么质点的坐标 X,Y在在G上
12、服从均匀分布上服从均匀分布.例例 假假设设二二维维随随机机变变量量X,Y具具有有概概率率密密度度记作（记作（X,Y）N()则称（则称（X,Y）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中均为常数均为常数,且且 二维正态分布的两个边缘密度仍是二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布正态分布.留给同学们自己证明留给同学们自己证明.在这一讲中，我们与一维情形相对照，在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定
13、联合分布.那么要问，在什么情况下，由边缘分布那么要问，在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？可以唯一确定联合分布呢？请注意联合分布和边缘分布的关系请注意联合分布和边缘分布的关系:我们下一讲就来答复这个问题我们下一讲就来答复这个问题.芝诺悖论与第二次数学危机十七、十八世纪关于微积分发生的剧烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4
14、点，如此类推以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。“阿基里斯(?荷马史诗?中的善跑的英雄)追不上乌龟：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。“飞矢不动：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。“操场或游行队伍：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看，比方说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，那么B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间
15、无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。它们说明了人们已经看到“无穷小与“很小很小的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算微积分这门学科。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。同时，关于微积分根底的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。无穷小量究竟是不是零？牛顿莱布尼兹对它曾作过不同解释，但是他们也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格根底。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，根本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的根底。
