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1、周期为2 的周期函数展开成傅里叶级数 谢谢大家！ 本课件由王科设计、开发 * 第一节 函数及其图形 自然界的许多现象都具有周期性，如心脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形波和三角波以及由空气的周期性振动产生的声波等等。 内容简介 5.1 周期为 的周期函数展开成傅里叶级数 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例 矩形波的叠加 周期函数可表示为f T+t f t ，T为函数 F t 的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为 其中A为振幅， 为角频率， 为初相。 电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成
2、，如下图所示： 二、 概念和公式的引出 三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和， 称为三角级数。它的一般形式为 其中 为常数。 傅里叶级数 存在，则称它们为函数f x 的傅里叶系数，由傅里叶系数组成的三角级数 设f x 是周期为 的周期函数，如果 称为傅里叶级数。 收敛定理 的周期函数f x 满足条件 若周期为 在区间 连续或只有有限个第一类间断点； 在区间 只有有限极值点， 则函数f x 的傅里叶级数收敛，且 当是连续点时，级数收敛于f x ； 当是间断点时，级数收敛于 三、进一步的练习 练习1 脉冲矩行波 如右图所示，求此函数的 脉冲矩形波的信号函数f x 是以 为周期 的周期函数，
3、它在 的表达式为 傅里叶级数展开式。 解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下: 因为函数f x 是奇函数，所以f x cosnx是奇函数， 因此f x cosnx 上积分为零于是 于是，函数f x 的傅立叶级数展开式为 由收敛定理知函数f x 在 范围内与级数相等,即 当 此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示 当n分别1,2,3,6取时，傅立叶级数的部分和Sn x 图形与函数f x 的方波逼近的情况，类似于本章开始演示的图形 时，傅立叶级数收敛于 练习2 脉冲三角信号 已知脉冲三角信号f x 是以 为周期的周期函数， 它在 的表达式为 如右图所示，将函数 f x 展开成傅里叶级数。 解 因为函数f x 是偶函数，所以f x sinnx是奇函数， 因此它在 上积分为零于是 由于函数 f x 在 上连续，所以 注：从以上几个例子可以得出下面结论： 1 当函数 f x 是以 为周期的奇函数时， 傅立叶级数只含正弦项，称为正弦级数 2 当函数f x 是以 为周期的偶函数时， 傅立叶级数只含余弦项，称为余弦级数 练习3 锯齿脉冲信号 如右图所示，将它展开成 设锯齿脉冲信号函数 f x 的周期为 ，它在 的表达式为 傅里叶级数。 解 函数 f x 为非奇非偶函数计算傅立叶系数如下 于是，函数 f x 的傅立叶级数展开式为
