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1、概率论与数理统计 Probability and Mathematical Statistics 授授 课课 人：人：张学梅张学梅 张学梅简况学位：博士学位：博士教研室：高等数学教研室教研室：高等数学教研室办公地点：主楼办公地点：主楼C625办公办公 ：61772874E-mail:zhxuemncepu.edu 学习要求期末考试成绩期末考试成绩70，平时成绩，平时成绩30平时成绩由出勤、作业完成情况、课堂平时成绩由出勤、作业完成情况、课堂表现等决定表现等决定不能无故缺席课堂，缺课不能无故缺席课堂，缺课1/3者取消考试者取消考试资格资格不及格者实行补考制度不及格者实行补考制度 在社会生产活动中
2、，人们常常在不确定的情况下在社会生产活动中，人们常常在不确定的情况下做出决策。比方：许多人希望通过抽彩票中大奖，你做出决策。比方：许多人希望通过抽彩票中大奖，你们参与过吗？们参与过吗？2021 2021年年2 2月月2222日，美国佐治亚州波特尔镇日，美国佐治亚州波特尔镇5454岁的铁岁的铁厂工人罗伯特厂工人罗伯特哈里斯和哈里斯和4747岁妻子唐娅岁妻子唐娅哈里斯用哈里斯用6 6个个孙儿的生日数字作为孙儿的生日数字作为“幸运号码购置了两张幸运号码购置了两张“兆彩兆彩彩票，当中奖号码开出后，哈里斯夫妇购置的一张彩彩票，当中奖号码开出后，哈里斯夫妇购置的一张彩票竟然一举中了票竟然一举中了2.72.
3、7亿美元的头奖！据统计，美国亿美元的头奖！据统计，美国“兆兆彩头奖的中奖概率只有彩头奖的中奖概率只有1.761.76亿分之一，这一中奖概率亿分之一，这一中奖概率比遭雷击的概率还小。比遭雷击的概率还小。此类现象都可归类于概率问题，概率属于此类现象都可归类于概率问题，概率属于“不确不确定性数学，它探求社会生活中这些不确定现象的规定性数学，它探求社会生活中这些不确定现象的规律性必然性律性必然性-是对是对“可能性的量化；可能性的量化；19 19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生对于生活中的大局部，最重要的问题实际上只是概率问题。活中的大局部，最重要的问题实际上只是
4、概率问题。可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小局部我们能确定地了解。甚至数学科学本身，只有一小局部我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的根底之上。率论的根底之上。下面我简要地从三个方面介绍“概率论的相关知识：一、概率论的起源一、概率论的起源二、概率论的开展二、概率论的开展三、概率论的应用三、概率论的应用概率论的起源促使概率论产生的强大动力来自社会实践首先是保险事业文艺复兴后，随着航海事业的开展，意大利开始出现海上保险业务16世纪末，在欧洲不
5、少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了不过，作为数学科学之一的概率论，其根底并不是在上述实际问题的材料上形成的因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，使它难以呈“自然的随机状态。概率论的起源与赌博问题有关。1494年意大利数学家帕西奥尼(14451509)出版了一本有关算术技术的书.书中表达了这样的一个问题:在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家,那么,当甲方胜了4局,乙方胜了3局的情况
6、下,因出现意外,赌局被中断,无法继续,此时,赌金应该如何分配?帕西奥尼的答案是帕西奥尼的答案是:应当按照应当按照4:34:3的比的比例把赌金分给双方例把赌金分给双方.当时当时,许多人都认许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为因为,已胜了已胜了4 4局的一方只要再胜局的一方只要再胜2 2局就局就可以拿走全部的赌金可以拿走全部的赌金,而另一方那么需而另一方那么需要胜要胜3 3局局.但是但是,人们又找不到更好的解决方法人们又找不到更好的解决方法.在这在这以后以后100100多年中多年中,先后有多位数学家研究过先后有多位数学家研究过这个问题这个问题,但均未得到
7、过正确的答案但均未得到过正确的答案.直到直到16541654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问赌金分配问题题,引起了这位法国天才数学家的兴趣引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他他们分别用了自己的方法独立而又正确地解们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题决了这个问题.帕斯卡和费马以“赌金分配问题开始的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河.后来荷兰数学家惠更斯1
8、6291695也参加了这场讨论,并写出了关于概率论的第一篇正式论文?赌博中的推理?.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.随着18、19世纪科学的开展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与时机游戏之间有某种相似性，从而由时机游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的开展。二、概率论的开展四个阶段第一阶段：古典概率 这个定义是法国数学家拉普拉斯1812年给出的。它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能结果为有限多且等可能的情形如掷硬币、抽签、摸球等。随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他根底学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴
9、露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些根本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论根底。第二阶段：几何概率.它是利用几何图形的点的个数，长度、面积、体积等的比来刻画。它包含古典概率，有更大的适用范围。转盘问题、投点问题、等候问题第三阶段：概率的频率定义.在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率m/n 总是接近于某个常数C，在它附近摆动,这时就把这个C常数叫做事件 A 的概率记作P(A)=C。第四阶段：概率的公理化定义。为概率论确定严密的理论根底的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的?概率论的根本概念
10、?，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论开展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速开展奠定了根底。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利，在他写的概率论的第一本士数学家伯努利，在他写的概率论的第一本专著专著?推测术推测术?中，他建立了概率论中第一个中，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，说明了事件极限定理，即伯努利大数定律，说明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和P.S.P.S.拉普拉斯拉普拉斯 又导出了第二个根本极限定理又导出了第二个根本极限定理中心极限定理的原始形式。拉普拉斯在系中心极
11、限定理的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的根底上写出了统总结前人工作的根底上写出了?分析的概分析的概率理论率理论?，明确给出了概率的古典定义，并，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的开展阶段。率论推向一个新的开展阶段。1919世纪末，俄国数学家世纪末，俄国数学家P.L.P.L.切比雪夫、切比雪夫、A.A.A.A.马尔可夫、马尔可夫、A.M.A.M.李亚普诺夫等人用分李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇一般形式，科学地解
12、释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。到的许多随机变量近似服从正态分布。2020世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面机过程。这方面A.N.A.N.柯尔莫哥洛夫、柯尔莫哥洛夫、N.N.维维纳、纳、A.A.A.A.马尔可夫、马尔可夫、A.RA.R辛钦、辛钦、P.P.莱维及莱维及W.W.费勒等人作了杰出的奉献。费勒等人作了杰出的奉献。如何定义概率，如何把概率论建立在严格如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑根底上，是概率理论开展的困难所的逻辑根底上，是概率理论开展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了在，对这一问题的探索一直持续了3
13、 3个世纪。个世纪。2020世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后开展的抽象测度和积分理论，为概率随后开展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了根底。在这种背景公理体系的建立奠定了根底。在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫19331933年在他年在他的的?概率论根底概率论根底?一书中第一次给出了概率一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。的测度论的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的根底，他的公理化方法成为现代概率论的根底，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论使概率论成为严谨的数学分支，
14、对概率论的迅速开展起了积极的作用。的迅速开展起了积极的作用。三、概率论的应用在社会科学领域，特别是经济学中研究最在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用许多效劳系统，如采用许多效劳系统，如 通信，船舶装卸，通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，竞选等等，控制，水库调度，购货排队，竞选等等，都可用一类概率模型来描述。都可用一类概率模型来描述。2020世纪以来，由于物理学、生物学、工程世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术开展的推动
15、，技术、农业技术和军事技术开展的推动，概率论飞速开展，理论课题不断扩大与深概率论飞速开展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入到经济、金融和管理科学，概率法被引入到经济、金
16、融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。论成为它们的有力工具。应用案例1：保险数学精算师 保险公司运用集少成多的保险费可以兴办事业、企业，获取利润。但是，保险费应当收多少才合理?多收了大家吃亏；少收了，保险公司赔不起，会破产，也就不保险了。保险数学，就是研究这类问题的一门应用数学，是很早就开始的，在社会生活中运用数学的成功的例子。应用案例2：天气预报传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报那么给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大。一般来讲，概率值小于或等于30%，可认为根本不会降水；概率值在30%-60%，降水可能发生，但可能性较小；概率在60%-70%，降水可能性很大；概率值大于70%，有降水发生。在许多情况下，这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要。第一讲概率论序言在我们所生活的世界上，充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的时机游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的时机游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千
