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1、高考数学精品复习资料 2019.520xx艺体生文化课-百日突围系列椭圆的定义与标准方程【背一背基础知识】1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的定义用符号语言表示：说明：当时，无轨迹；当时，轨迹为线段2椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程：，焦点；（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程：，焦点其中几何意义：表示长轴长的一半，表示短轴长的一半，表示焦距长的一半，并且有3椭圆的一般方程：【讲一讲基本技能】1必备技能：（1）在高考中，对于椭圆部分内容，在选择题或填空题中一般考查考生椭圆的定义、离心率
2、、焦点坐标等基础知识的掌握情况；解答题中考查考生在求解椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况（2）求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上“定式”就是根据“形”设出椭圆的具体形式，若焦点在x轴上，则设方程为；若焦点在y轴上，则设方程为；若焦点位置不确定，可设方程为“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数或2典型例题例1已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得：，因为，所以，故选C【考点定位】椭圆的简单几何性质
3、【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆（）的左焦点，右焦点，其中例2已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2离心率为，过F2的直线l交C与A，B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为（ ）A B C D 【分析】由椭圆的定义确定，再利用离心率求，最后由求，从而的椭圆方程【答案】A【方法总结】用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A
4、0，B0，AB)例3已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且若PF1F2的面积为9，则b_【分析】关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用进而求解【答案】3【方法总结】椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等【练一练趁热打铁】1过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_【分析】利用定义法或待定系数法求解【解析】法一：椭圆1的焦点为(0，4)，(0，4)，即c4由椭圆的定义知，2a，解得a2由c2a2b2可得b24所以所求椭
5、圆的标准方程为1法二：因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216又点(，)在所求椭圆上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1【方法总结】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围椭圆的几何性质【背一背基础知识】椭圆的简单几何性质（以为例）：如图1所示，填写各空图1 (1)范围：(2)对称性：关于轴、轴以及原点对称，对称轴为轴、轴，对称中心
6、为(3)顶点：长轴长，短轴长(4)离心率，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁总结可得如下表格：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图 形标准方程定 义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范 围且且顶 点轴 长长轴的长，短轴的长 对 称 性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦 点、焦 距离 心 率 焦点三角形面积弦长公式，【讲一讲基本技能】1必备技能：讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求得；（2）列出关于的齐次方程（或不等式），然后根据，消去，转化为关于的方程（或不等式）求解2典型例题例1已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，
7、点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】设左焦点为，连接，则四边形是平行四边形，故，所以，所以，设，则，故，从而，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将转化为，进而确定 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量满足的不等量关系，以确定的取值范围例2 椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 【答案】【考点定位】1.点关于直线对称；2.椭圆的离
8、心率.【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于的方程，由此计算离心率.本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力.【方法总结】求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率【练一练趁热打铁】1设是椭圆的长轴，点在上，且若，则的两个焦点之间的距离为_【答案】2过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 【答案】3已知椭圆C的中心在坐标
9、原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1求椭圆C的标准方程；【答案】椭圆C的标准方程为1【解析】由题意设椭圆的标准方程为1(ab0)ac3，ac1，a2，c1，b23，1直线与椭圆的位置关系【背一背基础知识】椭圆方程：，直线斜率为k，弦长公式，【讲一讲基本技能】1必备技能：解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解2典型例题例1如图，F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A
10、是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值【答案】(1) e；(2) a10，b5例2在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点）点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值【答案】（1）（2）存在常数使得结论成立【解析】【分析】（1）首先由题意得到，即将代入可得，由，可得得解（2）注意从确定的表达式入手，探求使成立的设，则，得到，根据直线BD的方程为，令，得，即得到由，作出结论
11、（2）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即可得所以，即因此存在常数使得结论成立【练一练趁热打铁】1. 设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为.（）求E的离心率e;（）设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB.【答案】（） （）详见解析.【解析】【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识.【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，
12、以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力.2. 如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.【答案】(I) ； (II)证明略，详见解析.【解析】 (II)由题设知，直线的方程为，代入，得 ，由已知，设，则，从而直线与的斜率之和 .【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.【名师点睛】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒
13、定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；（2）进行一般计算推理求出其结果.（一） 选择题（12*5=60分）1下列曲线中焦点坐标为的是（ ）A By4x2 C D【答案】A2已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由 ，设 ，由题意得，由椭圆的定义，可得 ，根据勾股定理得 ，所以 ， 故选D3曲线与曲线的（ ）A焦距相等 B离心率相等 C准线相同 D焦点相同【答案】A【解析】由表示焦点在x轴上的椭圆曲线的标准方程为 表示焦点在y轴上的双曲线，其中c相等，所以焦距相等，故选A4若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为A2 B3 C6 D8【答案】C5已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，则的周长为 A16 B8 C25 D32【答案】A 【解析】由椭
