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1、 24.1.5（补充）与圆有关的角的综合教学设计学习目标1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论；2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。一、导学探究知识概述一、圆心角：1、的角叫圆心角.2、圆心角定理：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等；3、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个、两条、两条、两条弦的中有一组量相等，其余各组量都相等。二、圆周角1、顶点在，两条边的角叫做圆周角2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧推
2、论2：(或)所对的圆周角等于90；90的圆周角所对的弦是4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的二、精讲多动一、加深理解1、对圆周角的理解如图，AOB与ACB是对的圆心角与圆周角，故有：ACBAOB，反之AOBACB定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1：是圆中证角相等最常用的方法之一若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的1与2)相等的弧相等的弦相等的圆心角相等的圆周角推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“
3、在同圆或等圆中”，离开这个前提条件，结论不成立(如图中的)联系圆心角定理推论可得：在同圆或等圆中， (2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法 3、对圆的内接四边形定理的理解(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角(2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180)(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据(4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置二、解题方法技巧点拨1、圆心角和圆周角之间的换算例1
4、、已知：如图，AB为O的直径，弦CD交AB于P，且APD60，COB30，求ABD的度数例2、如图，ABC中，ABAC，A80，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E求所对圆心角的度数点评：(1)辅助线AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形即有直径，得直角.(2)本题还有副产品BEEC，你注意了吗？该副产品有时很有用仿解：如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设FBC, ACB.当50时，求的度数。猜想与之间的关系，并给与证明。2、 圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题圆内角：角的
5、顶点在圆内的角叫做圆内角圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，P28，AQC92，求ABC的度数分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角AQC与圆外角P可通过圆周角ABC(ADC)与A(C)建立起联系。点评：圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角圆周角圆外角圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和(如图，AQCABCA)圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，PABCA)3、与圆周角有关的证明例4、如图，ABC内接于O，AEBC于D，交O
6、于E，AF为O的直径求证：BAFCAE(2) 求证：ABACADAF；(3)若过O作ONAB于N，则ON与CE之间有何数量关系？例5、如图，AB是ABC外接圆O的直径，D为O上一点，且DECD交BC于E，求证：EBCDDEAC例6、如图，ABC是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：AB2BGBC例7、已知：O1的圆心O1在O2上，且两圆交于A、B两点，O1D为O2的弦，交O1于C，求证：O1C2O1EO1D点评：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线过弧中点作半径；连等弧对的圆心角和圆周角；连等弧对的弦4、与圆的内接四边形的有关计算问题例8、如图，已知A
7、B是半圆O的直径，BAC40，D是AC上任意一点，那么D的度数是_仿解：如图，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于E，交弧BC于D (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BC8，ED2，求O的半径 （3）连CD，设BDC，ABC，探究与之间的关系式，并给给予适当的说明。例9、已知：四边形ABCD内接于O，且BOD100求A的度数（注意：此题不止一种情形）仿解：已知O中弦AB的长等于半径长，则弦AB所对的圆周角的度数为.5、与圆的内接四边形有关的证明问题例10、如图，已知：AB是O的直径，弦CDAB于E，G是上任意一点，AG、DC的延长线交于F求证：FGCAGD点评：圆内接四边形的性质是
8、沟通圆外角和圆内角的桥梁，此题的关键是添加辅助线，构造圆内接四边形变式：此题条件不变，问DGCG是否与AGFG相等是否有AC2AGAF成立？6、巧妙构造四点共圆解题.例11、在等腰ABC中，ACBC，C1000，点P在ABC的外部，并且PCBC，求APB的度数。思路点拨：由题中的条件ACBCPC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，巧妙地构造出圆心角ACB1000， 圆周角APB500问题，使此题得以突破与解决。三、优选精练基础演练窗体顶端1、下列命题中，错误的是() A90的圆角所对的弦一定是直径；B相等的圆周角所对的弦长也相等；C圆周角等于其所对弧的度数的一半；D同弧所对的圆
9、周角也相等2、如图，已知直线BC切O于点C，PD为O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，A28，B26，则PDC. 3、如图所示，P为等边三角形ABC外接圆上一点，则APB的度数是 4、如图，O1和O2相交于A、B，分别过A、B作两条直线与O1交于C、E，与O2交于E、F，如ADF100，那么ACE.第2题图第3题图 第4题图 第5题图5、如图，四边形OADC中， A、D、C三点在以O为圆心的圆周上，延长AO交O于B点，已知BOC20，那么ADC6、（2009肇庆）9如图 4，O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在O上，则APB等于第6题图第7题图第8题图第9题图7、如图，AB是O的
10、直径，C是圆上一点，作弦CDAB，当C在半圆上移动时，OCD的平分线交圆周于一点E，此点()A是的中点； B是的3等分点；C距点B和C等远；D距点A和C等远8、如图，O的内接四边形ABCD的对角线交于P,已知ABBC，求证：ABDDPC。9、如图，半圆的半径为2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积.能力提升10、（07年重庆）已知，如图：AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC。给出以下五个结论：EBC；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正确结论的序号是 。 EDCBAO第10题图（第11题图）OA(第13题图)OBCDE11、如图，量角器外沿上
11、有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1的度数为 .12、（2008年海南） 如图8, AB是O的直径，点C在O上，BAC30，点P在线段OB上运动.设ACPx，则x的取值范围是 . 13、（07年广西柳州、北海）如图所示，ABAC，AB为O的直径，AC、BC分别交O 于E、D，连结ED、BE（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC6，AB5，求BE的长 PBCEA（14题）14、(2009南充市)如图8，半圆的直径AB10，点C在半圆上，BC=6（1）求弦AC的长；（2）若P为AB的中点，PEAB交AC于点E，求PE的长15、（2009黄冈市）如图，已知AB是O的直径
12、，点C是O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CDAB于点D，点E是AB上一点，直线CE交O于点F，连结BF，与直线CD交于点G求证：CBAFGDOE（第15题图）16、(2009年衢州）如图，AD是O的直径(1)如图，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则B1的度数是，B2的度数是；(2)如图，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求B1，B2，B3的度数；(3)如图，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示Bn的度数(只需直接写出答案)17、（2008陕西）如图，在RtABC中，ACB90，AC
13、5，CB12，AD是ABC的角平分线过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE（1）求证：ACAE；（2）求ACD外接圆的半径18、(2009成都)如图，RtABC内接于O，ACBC，BAC的平分线AD与0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G (1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AEBF；（3）若，求O的面积。ACBDEFO19、（2010浙江金华）如图，AB是O的直径，C是的中点，CEAB于 E，BD交CE于点F（1）求证：CFBF；（2）若CD6， AC8，求O的半径与CE的长20、（2010湖北荆门）如图，圆
