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1、专题检测(十三)立体几何中的向量方法A组一一大题考点落实练ABCD入的1.如图，在四棱柱 ABCDAiBCD中，AA丄底面 ABCD四边形 为菱形，AA= AB= 2,Z ABC= 60 E, F分别是BC AC的中点.(1) 求异面直线EF, AD所成角的余弦值；AM(2) 点M在线段AD上, ad)=入，若CMF平面AEF求实数值.解：(1)因为AA丄平面ABCD AE?平面ABCD AD?平面ABCD所以AA丄AE AA丄AD在菱形 ABCD中 , / ABC= 60 连接 AC则厶ABC是等边三角形.因为E是BC的中点，所以BCL AE因为BC/ AD,所以AE丄AD以A为坐标原点，A
2、E为x轴，AD为y轴，AA为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C( .3，1,0)，Q0,2,0)，A(0,0,2)，曰，0,0)F心1 12 ， 2，?D = (0,2,0)，Ejf =所以cos 1 .2所以异面直线EF, AD所成角的余弦值为-q2.设Mx, y, z)，由于点M在线段AD上，且ad=入， 所以 AM=入 AD，则(x, y, z 2)=入(0,2 , - 2).解得 M0,2 入，2 2 入)，所以ClM= ( 、:3, 2 入1,2 2 入). 设平面AEF的一个法向量为n= (xo, yo, zo).因为 AE = ( .3 0,0) , AF
3、= -2, 1, 1 ,-E n= 0,衍x= 0，所以即：31-F n = 0,Tx0+ + z0= 0，取 yo= 2,得 zo= 1, 则平面AEF的一个法向量为 n= (0,2 , - 1).由于CM平面 AEF则n CM= 0,2即2(2入一1) - (2 2入)=0，解得 入=3.2.(2019届高三河北三市联考)如图，三棱柱ADEBCGK 四边 形 ABCD1 矩形，F 是 EG的中点，EA!AB AD= AE= EF= 1,平面 ABGE 丄平面ABCD(1)求证：AF丄平面FBC 求二面角 BFGD的正弦值.解：(1)证明：四边形 ABCD是矩形, BCL AB又平面 ABG
4、丄平面 ABCD BCL平面 ABGE/ AF?平面 ABGE BCLAF在厶 AFB中, AF= BF= 2 AB= 2, AF+ BF= Ab,即 AFL BF,又 BFA BC= B, AF丄平面FBC(2)分别以AD AB AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，贝 UA(0,0,0), D(1,0,0), C(1,2,0),耳0,0,1),00,2,0),F(0,1,1) , De = (1,0,1) , Dc= (0,2,0),2y= 0 ,x + z = 0 ,设m= (x , y , z)为平面CDEF勺法向量,m DC= 0 , 则n1 DE = 0 ,令x =
5、1,得z = 1,即m = (1,0,1)为平面CDE的个法向量,取n2=AF = (0,1,1)为平面BCF的一个法向量, cos m , n2 面角B-FD的正弦值为3如图，在四棱锥 E-ABC即，底面ABC助直角梯形，其中CD/ AB BCL AB 侧面 ABEL平面 ABCD 且 AB= AE= BE= 2BC=2CD= 2，动点F在棱AE上，且EF=入FA(1)试探究 入的值，使CE/平面BDF并给予证明； 当X = 1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.解： 当X = f时，CE/平面BDF证明如下:连接AC交BD于点G,连接GF,CD/ AB AB= 2CD.CG CD 1
6、GATAf，i EF= 2FA.EF CG 1.FATGAT 2, GF/ CE又CE?平面BDF GF?平面BDF CE/ 平面 BDF(2)取AB的中点 O 连接EQ贝U EOL AB平面ABEL平面 ABCD平面 ABEH平面ABCT AB EOL平面 ABCD连接 DQ / BO/ CD 且 BO= CD= 1,四边形BOD呦平行四边形， BC/ DQ又 BCL AB ABL OD则OD OA OEW两垂直，以 O为坐标原点，OD OA OE所在直 线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,则 O(O,O,O) , A(0,1,0) , B(0，- 1,0) , D1,0,
7、0) , Q1 , - 1,0),曰0,0，.当 Xt 1 时，有吞 tFa , F0, 1，F ,3 3 - BD = (1,1,0) , BF = 0, f,亏,CE = ( 1,1 , ：3).设平面BDF的法向量为 n= (x, y, z),x + y = 0 ,n BD = 0 ,贝V即33ar + - z = 0n BF = 0 ,2 十 2,令 z = :3，得 y= 1 , x = 1,则n = (1 , 1 ,.为平面BDF的一个法向量，设直线CE与平面BDF所成的角为0 ,则sin0 = |cosE n| = 1 - 1 - 1 + 31,5X ；514. (2018 成都
8、一诊)如图，在边长为故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为5.5的菱形ABCD中, AC= 6，现沿对角线 ACffiADC翻折到 APC的位置得到四面体 P-ABC如图所示.已知 PB=钉2.a阁由(1)求证：平面 PACL平面ABC 若Q是线段AP上的点，且Q = 3AP，求二面角 QBGA的余弦值.解：(1)证明：取AC的中点Q连接PO BO四边形ABCD1菱形， PA= PC, POL AC/ DC= 5, AC= 6,:.OC= 3, PO= OB= 4,/ PB= 4 2, pO+ oB= pB, POL OB/ OBn AC= O, POL平面 ABC/ PO?平面PAC：平面
9、PACL平面 ABC(2) T AB= BC - BOL AC故OB OC OF两两垂直.以O为坐标原点，OB OC OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直 角坐标系Oxyz.则 B(4,0,0) , Q0,3,0) , P(0,0,4) , A(0 , 3,0).设点 Q(x , y , z).14由 AQ = 3 AP，得 Q0 , 2 , 3 .4 BC = ( 4,3,0) , BQ = - 4, - 2 , 3 .设ni= (Xi, yi, zi)为平面BCQ的法向量,ni BC = 0, 由ni BQ = 0,4xi + 3yi = 0, 得44xi 2yi + 3
10、Zi= 0,3取 Xi= 3,贝y ni= (3,4,i5).取平面ABC勺一个法向量 n2= (0,0,i)/ cos ni, n2ni n2i53 iO而nr=32+孑+152= Hq-面角QBGA为锐角,面角QBGA的余弦值为3 iOiOB组一一大题专攻补短练i.在三棱锥 P-ABC中, PA= PB= PC= 2, BC= i, AC= ：3, ACLBC(1) 求点B到平面PAC的距离.(2) 求异面直线PA与BC所成角的余弦值.解： 以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABC 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，取AB的中点D,连接PD DC因为 ACE为直角三角形且
11、AC= ：3, BC= i,所以AB= 2,所以 PAB为正三角形，所以 PDLAB且 PD= ：3.在厶 PDCK PC= 2, PD= ,3, DC= i,所以 pC = pD+ dC,所以 PDL DC 又 ABA DC= D,所以PDL平面ABC则 A(：3 ,0,0),巳o,i,o), 疔,2 , 0 ,P -23 ,i , ,：3 ,qo,o,o),Ca = (,：3,0,0),cD=0 ,CP =JI i2 , 2 ,CB = (0,i,0),设平面PAC勺法向量n = (x , y , z),n GA = 0 , 则n CP = 0 ,2y +3z = 0 ,取 y = 2 ,
12、3，得 n = (0,2;3 , i)为平面PAC勺一个法向量,I Pa Bciea aI PA| I BC|1所以点B到平面PAC的距离d I CB n| 2护 2伸_ _13 肓因为 PA = 23, - 2, - 3 , BC = (01,0),设异面直线PA与 BC所成角为e,则cos所以异面直线PA与 BC所成角的余弦值为4.2.已知四棱锥 F-ABCD中，底面ABC是梯形，BC/ AD ABL AD 且AB= BC= 1, AD= 2，顶点P在平面ABC内的射影 H在AD上, PA 丄PD(1)求证：平面PABL平面PAD 若直线AC与PD所成角为60求二面角 APGD的余弦值.解
13、：(1)证明：T PHL平面ABCD AB?平面ABCD PHL AB ABL AD ADA PH= H, AD?平面 PAD PH?平面 PAD AEL平面 PAD又AB?平面PAB 平面PABL平面PAD 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,/ PHL平面 ABCD z 轴 / PH则 A(0,0,0) , Q1,1,0) , D(0,2,0),设 AH= a , PH= h(0 a0).则 P(0, a , h).aaa AP = (0, a , h), DP = (0 ,a 2 , h), AC= (1,1,0).2/ PAL PD AP DP = a(a 2) + h = 0. AC与 PD所成角为60 ,a |cos AC ,DP | =Ja 2|2 5J2 +h2 2 (a 2) = h , (a 2)( a 1) = 0 ,/ 0a0 , h= 1, R0,1,1)设平面APC勺法向量为n=（X1 , y1 ,n -P = 0 ,y1+ Z1= 0,则即n AC = 0 ,X1+ y1= 0 ,AP = (0,1,1) , C = (1,1,0
