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1、高等数学第一章练习第一章 函数与极限 一、要求： 函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限， 间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 y=2.函数y=11-x2+x+2的定义域 ；答：x-2且x1； 2 复合而成的；答：y=lnsinx 是由： u,u=lnv,v=w,w=sinx；23. 设 fx+1122 则= ；答：x-2； =x+,f(x)2xx24.已知f1=x+x1+x(x0)，则f(x)= ； 1xx+1x2答： f(x)=1x+1+1x2=+(x0)； 35.limx-1x-1n= ，答：n； limnsi
2、nn!n+12= ；答： 0； x1nex,6. 当a= 时,函数f(x)=a+x,x1的 1 A、连续点 B、可去间断点 C、第二类间断点 D、跳跃间断点 13. 函数y=2xx2+1xxxyA.y=log2，B. ,C. ,D. x0,1y=logy=lnx=log()()221-x1-x1-x1-y2tanx-sinxx14. 计算(1)lim2x；(2)lim； lim3x0xxsin2xx-1x-1x的反函数为 xlim(1+x)21/3-1x0cosx-1；limx+1x+x32xlim(3+cosx)；x42xsinx1+x1x22x+1-3x-2-2； (7) limln(a+
3、x)+ln(a-x)-2lnax1x1+x1-x2x0；(8)limxarctan1x； (9) limx0ln； (10) limx2x1+x-12xarcsin. x2111解：(1)lim2=lim=lim=1； xxx-1xxxx-1ee1111-1-1+2xxxx-x1x (2)lim1-=e； =limxxxx-1limtanx-sinxsin2x3x0=limtanx(1-cosx)8x3x=limx01x0238xx2=116； 1lim(1+x)21/3-1x0cosx-1x+1x+x322=lim3=-； x0123-x2x+1x+x32xx2Qlimx=0,23+cosx
4、4,lim(3+cosx)=0； 2lim2x+1-3x-2-2x4=lim2(x-4)x4(x-4)(x-2+2x+1+3)2=limx4)(x-2+2x+1+32)=223； 2x2aln1-2-22ln(a+x)+ln(a-x)-2lnaa1xx1=lim=-limln1-=-(7) lim； 22222x0x0xxax0aa 2 22xxln1-2-2aa=-1 或 原式=lim=lim222x0x0xax(8) lim2xsinxarctan1=limx2x1+x21+x2xx1xsinx=lim2x1+x2xlim1xxsinx=20=0； 或 原式lim2xsinx1+x1+x2
5、xarctan1x=lim2xsinx1+x2xlimarctanx1x0 (9) lim或 1x1xx0ln11-=limln(1+x)x+ln(1-x)x=1； ln(1+x)-ln(1-x)=limx0x01-x2x2111limx0ln1+x11112112112x=limlnx=limln1+=lim=lim=1x0x0x0x01111-x2x2x2x2x1-x-1-1-1xxx+12x1+x-121(10)limxarcsin1x=lim2x2x1+x-1x1=lim21+x-12x=0. 15.已知limx+ax+bx-122x1=3，求a,b的值； 解：设x+ax+b=(x-1
6、)(x+c)，则lim所以a=c-1=1,b=-c=-2. x-2x+kx-3x-2x+kx-33(x-1)(x+c)x-1x1=1+c=3,c=2， 216. 已知limx3=4，求k的值. 2解：Qlimx3=4,lim(x-3)=0，lim(x-2x+k)=3+k=0,k=-3. 2x3x317.证明方程x+3x+2=0在区间(-1,1)内至少有一个根. 证明 设f(x)=x+3x+2，则f(x)在闭区间-1,1上连续，又3f(-1)=-1-3+2=-20, 由零点定理，至少存在一点x(-1,1),使f(x)=0；即f(x)=x+3x+2=0， 3即方程x+3x+2=0在区间(-1,1)内至少有一个根. 3 3
