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1、【知识要点】几何体基本概念正棱锥底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台圆柱以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆锥以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成 的几何体圆台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲 面围成的几何体球面半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球球面所围成的几何体2简单空间几何体的基本性质:几何体性质补充说明棱柱侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等 的多边形过不相邻的两条侧棱的截面(对角
2、面)是 平行四边形(1) 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及 对角面都是矩形(2) 长方体一条对角线的平方等于一 个顶点上三条棱长的平方和正棱锥(1) 侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形(2) 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影 组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角 形球(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截 面球心到截面的距离d球的半径R截 面圆的半径r满足r = %R2 d2(1) 过球心的截面叫球的大圆，不过球 心的截面叫球的小圆(2) 在球面上，两点之间的最短距离， 就是经过这两点的大圆在这两点间 的一段劣弧的长度(两点的球面距离)3.简单几何体的三视
3、图与直观图: 平行投影： 概念：如图，已知图形F,直线l与平面d相交，过F上任意一点M作直线MM平 行于1,交平面d于点M,则点M叫做点M在平面d内关于直线l的平行投影.如果图形 F上的所有点在平面d内关于直线1的平行投影构成图形行，则行叫图形F在d内关于直 线1的平行投影.平面d叫投射面，直线1叫投射线. 平行投影的性质:性质1 直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线；性质3.平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；性质4.与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；性质5.在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比
4、.(2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图.三视图： 正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影. 三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面.若投射面水平放置，叫做水平投射面, 投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这 个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投 射到这个平面内的图形叫做左视图.将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面 内，这样构成的图形叫空间图形的三视图. 画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”4.简单几何体的
5、表面积与体积：(1) 柱体、锥体、台体和球的表面积： S 直棱柱侧面积=ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高.直棱柱侧面积1 S ch，其中c为底面多边形的周长，h为正棱锥的斜咼.正棱锥形面积 21 S醫二恳(c + c) h，其中C, c分别是棱台的上、下底面周长，h为正棱台正棱台侧面积 2的斜高. S侧面积=2冗Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高.圆柱侧面积 S圆锥侧面积=兀用，其中R是圆锥的底面半径，1是圆锥的母线长.圆锥侧面积 S球=4冗R2,其中R是球的半径.球(2) 柱体、锥体、台体和球的体积： V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.柱体1 匕林二q
6、Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.锥体 3 V厶林二1 h(S + JSS7 + S)，其中S, S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体台体 3的高.4 V二 n3，其中R是球的半径.球 3【复习要求】1. 了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2. 会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图;3. 理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式.【例题分析】例1如图，正三棱锥PABC的底面边长为a,侧棱长为b.(I )证明：PA丄BC；(II) 求三棱锥P-ABC的表面积；(III) 求三棱锥P-ABC的体积.【分析】对于(I )只要证明BC(PA)垂直于经
7、过PA(BC)的平面即可；对于(II)则要根据正 三棱锥的基本性质进行求解.证明：(I)取BC中点D,连接AD, PD.VP-ABC是正三棱锥，:.ABC是正三角形，三个侧面PAB, PBC, PAC是全等的等腰三角形.TD是BC的中点，：BC丄AD,且BC丄PD,:.BC 丄平面 PAD,PA 丄 BC.1(I)解：在 RtAPBD 中，PD = y PB2 -BD2 二-4b2 -a2,1 , S 二 BC - PD 二-0.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求a的取值范围.Ci27Bi41B解：直三棱柱ABCABC1的三个侧面的面积分别是6, 8
8、, 10,底面积是6a2,因此每 个三棱柱的表面积均是2X6a2+6+8 + 10=12a2+24.情形：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：2X(12a2+24)2X6a2=12a2+48.情形：将两个直三棱柱的侧面ABB1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能 拼成四棱柱，但表面积一定是：2X(12a2+24)2X8 = 24a2+32.情形：将两个直三棱柱的侧面ACC”重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能 拼成四棱柱，但表面积一定是：2X(12a2+24)2X6 = 24a2+36.情形：将两个直三棱柱的侧面BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为： 2X(12a2+24)2X10 = 24a2+28在以上四种情形中，、的结果都比大，所以表面积最小的情形只能在、中产 生.5依题意“表面积最小的一个是四棱柱，得24a2+28 12a2+48，解得a2 3，所以a的取值范围是(0,七)-例6在棱长为a的正方体ABCDAlB1C1D1中，E, F分别是BB1，CD的中点，求三 棱锥FA1ED勺体积.也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解.解法1：取AB中点G,连接
