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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题三第1讲第1讲 等差数列、等比数列 【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式:1.以填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题;2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题( ,S， n,1，1,( a与S的关系S,a，a，a，a,1 nnn12nn S,S， n?2.,nn12( 等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 an,常数(n?2)
2、定义 a,a,常数(n?2) ,nn1a,n1n,1通项公式 a,a，(n,1)d a,aq(q?0) n1n1(1)定义法 (1)定义法 (2)中项公式法:2a,a，a(n?1)，n1nn22,a?a(2)中项公式法:a，n1nn2 ?a为等差数列 n(n?1)(a?0) ?a为等比数列 nn(3)通项公式法:a,pn，q(p、q为常数)nn(3)通项公式法:a,c?q(c、q均是n判定方法 ?a为等差数列 n*不为0的常数，n?N)?a为等n2(4)前n项和公式法:S,An，Bn(A、Bn比数列 为常数)?a为等差数列 n(4)a为等差数列?aa为等比nn(5)a为等比数列，a0?loga
3、为nnan数列(a0且a?1) 等差数列 *(1)若m、n、p、q?N，且m，n,p，q，且m，n,(1)若m、n、p、q?N则ap，q，则a性质 ，a,a，a?a,a?amnpq mnpq n,m (2)a,a，(n,m)d (2)a,aqnmnm(3)S，S,S，S,S，仍成等差(3)等比数列依次每n项和(S?0)仍m2mm3m2mn数列 成等比数列 n，1,q，a,aqa11n, (1)q?1，Sn，a，n，an，n,1，1n1,q1,q前n项和 S,na，d n122(2)q,1，S,na n1考点一 与等差数列有关的问题 例1 在等差数列a中，满足3a,5a，S是数列a的前n项和(
4、n58nn(1)若a0，当S取得最大值时，求n的值; 1n,aSnn(2)若a,46，记b,的最小值( ，求b1nnn解 (1)设a的公差为d则 n2由3a,5a得3(a，4d),5(a，7d)?d,a. 5811123n，n,1，21242,?S,na，,a,an，an n1111,223232311442,a(n,12)，a. 112323?a0?当n,12时S取得最大值( 1n2(2)由(1)及a,46得d,(,46),4 123?a,46，(n,1)4,4n,50 nn，n,1，2S,46n，4,2n,48n. n22S,a2n,52n，50nn?b, nnn5050,2n，,52?2
5、2n,52,32 nn50当且仅当2n,即n,5时等号成立( n故b的最小值为,32. n(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差只要根据已知条件求出这两个量其他问题就可随之而解这就是解决等差数列问题的基本方法其中蕴含着方程思想的运用( (2)等差数列的性质 *?若mnpq?N且m，n,p，q则a，a,a，a, mnpq?SS,SS,S仍成等差数列, m2mm3m2m,aamn*?a,a,(m,n)d?d,), (mn?Nmnm,nAa,2n1n?,(AB分别为ab的前2n,1项的和)( ,2n12n1nnbB,n2n1(3)数列a是等差数列的充要条件是其前n项和公式S,f(n)是n的二
6、次函数或一次函nn222数且不含常数项即S,An，Bn(A，B?0)( n(1)(2012?浙江改编)设S是公差为d(d?0)的无穷等差数列a的前n项和，nn则下列命题错误的是_(填序号) (?若d0，则数列S有最大项; n?若数列S有最大项，则d0; nn*?若对任意n?N，均有S0，则数列S是递增数列( nn(2)(2013?课标全国?改编)设等差数列a的前n项和为S，S,2，S,0，S,，nnm1mm13，则m,_. 答案 (1)? (2)5 dd2,解析 (1)利用函数思想通过讨论S,n，a,n的单调性判断( n1,221dd2,设a的首项为a则S,na，n(n,1)d,n，a,n.
7、n1n11,222由二次函数性质知S有最大值时则d0不妨设a,1d,2显然S是递增数列但S,n1n1,10d0S必是递增数列?正确( n1n(2)a,2a,3故d,1 ，mm1m，m,1，因为S,0故ma，d,0 m12m,1故a, 12因为a，a,5 ，mm1故a，a,2a，(2m,1)d ，mm11,(m,1)，2m,1,5 即m,5. 考点二 与等比数列有关的问题 例2 (1)(2012?课标全国改编)已知a为等比数列，a，a,2，aa,8，则a，a,n4756110_. (2)(2012?浙江)设公比为q(q0)的等比数列a的前n项和为S.若S,3a，2，S,3ann2244，2，则q
8、,_. 3答案 (1),7 (2) 2解析 (1)利用等比数列的性质求解( ,a，a,2a,2a,44,744,由解得或 aa,aa,8a,4a,2.,564777133,q,2q,2,?或, a,1,1 ,a,819?a，a,a(1，q),7. 1101(2)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解( S,S，a，a,3a，2，a，a,3a，2 423423442将a,aqa,aq代入得 32422223a，2，aq，aq,3aq，2化简得2q,q,3,0 22223解得q,(q,1不合题意舍去)( 2a，n1* (1)证明数列是等比数列的两个方法:?利用定义:(n?N)是常数?利an2*用
9、等比中项a,aa(n?2n?N)( ,，nn1n1(2)等比数列中的五个量:aaqnS可以“知三求二”( 1nn(3)a为等比数列其性质如下: n*?若m、n、r、s?N且m，n,r，s则a?a,a?a, mnrsn,m?a,aq, nm?SS,SS,S成等比数列(q?,1)( n2nn3n2n(4)等比数列前n项和公式 na，q,1，1,nS, a，1,q，a,aq,n11n,，q?1，. ,1,q1,q,?能“知三求二”,?注意讨论公比q是否为1,?a?0. 1(2013?湖北)已知S是等比数列a的前n项和，S，S，S成等差数列，且nn423a，a，a,18. 234(1)求数列a的通项公
10、式; n(2)是否存在正整数n，使得S?2 013,若存在，求出符合条件的所有n的集合;若不n存在，说明理由( 解 (1)设等比数列a的公比为q则a?0q?0.由题意得 n1232,S,S,S,S,aq,aq,aq2432111,即 2 a，a，a,18.aq，1，q，q，,18,2341,a,31,解得 q,2.,n,1故数列a的通项公式为a,3(,2). nnn31,，,2，n(2)由(1)有S,1,(,2). n1,，,2，假设存在n使得S?2 013 nnn则1,(,2)?2 013即(,2)?,2 012. n当n为偶数时(,2)0.上式不成立, nn当n为奇数时(,2),2?,2
11、012 n即2?2 012则n?11. 综上存在符合条件的正整数n且所有这样的n的集合为n|n,2k，1k?Nk?5( 考点三 等差数列、等比数列的综合应用 例3 已知等差数列a的公差为,1，且a，a，a,6. n2712(1)求数列a的通项公式a与前n项和S; nnn的前3(2)将数列a的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bnn*项，记b的前n项和为T，若存在m?N，使对任意n?N，总有ST，恒成立，nnnm求实数的取值范围( 解 (1)由a，a，a,6得a,2?a,4 271271n，9,n，?a,5,n从而S,. nn2(2)由题意知b,4b,2b,1 123设等比数列
12、b的公比为q nb12则q, b211m41,，12m?T,81,() m121,21m?()随m增加而递减 2?T为递增数列得4?T8. mmn，9,n，12又S,(n,9n) n2219812,(n,), 224故(S),S,S,10 nmax45*若存在m?N使对任意n?N总有ST， nm则106. 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法 (1)等差数列与等比数列交汇的问题常用“基本量法”求解但有时灵活地运用性质可使运算简便( (2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题求解时用等差(比)数列的相关知识将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可( n*,n 已知数列
13、a满足a,3，a,3a,3(n?N)，数列b满足b,3a. ，n1n1nnnn(1)求证:数列b是等差数列; naaaa1S1123nn(2)设S,，求满足不等式的所有正整数n的值( n345n，2128S42n,nn(1)证明 由b,3a得a,3b nnnnn，1则a,3b. ，n1n1nn，1n，1n代入a,3a,3中得3b,3b,3 ，n1nn1n1即得b,b,. ，n1n3所以数列b是等差数列( n,1(2)解 因为数列b是首项为b,3a,1 n111公差为的等差数列 3n，21则b,1，(n,1), n33nn,1则a,3b,(n，2)3 nnann,1从而有 ,3n，2aaaa12
14、3n故S,， n345n，2nn,11,332n,1,1，3，3 ，3,21,3n,13S1n则, 2nnS3,13，12n1S1111n由得 n128S41283，142nn即33127得1n?4. 1S1n故满足不等式的所有正整数n的值为2,3,4. 128S42n1( 在等差(比)数列中ad(q)naS五个量中知道其中任意三个就可以求出其他1nn两个(解这类问题时一般是转化为首项a和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算( 12( 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具应有意识地去应用(但在应用性质时要注意性质的前提条件有时需要进行适当变形(
