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1、勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+b2 = c2.即直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。”/1B常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC. AD E2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。3. 勾股数： 满足a2 + b2 = C2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。） 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,1
2、2,13； 7,24,25 ； 8,15,17等 用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 -1,2n,n2 +1 （ n 2, n 为正整数）；2n +1,2n2 + 2n,2n2 + 2n +1 （ n 为正整数）m2 n2,2 mn, m2 + n2 （ m n, m , n 为正整数）4. 判断直角三角形：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定
3、理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若C2 = a2+b2，则 ABC是以ZC为直角的三角形；若a2+b2Vc2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2+b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）5. 直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：ZC=90 = ZA+ZB=90(2)在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。ZA=30 )可表示如下：ZC=901nBC = AB2(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。ZACB=90可表示如下：D为AB的中点1n CD = AB = BD = AD26.数
4、轴上表示无理数第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。勾股定理专项练习一、基本应用考点1:勾股定理1. 下列是勾股数的一组是（D ）A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,2 8,352. ABC中，ZA： ZB： ZC=2： 1： 1, a, b, c分别是ZA、ZB、ZC的对边，则下列各等式中成立的是（）A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23. 矩形ABC
5、D,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为 60 cm2.4. 如图，在厶ABC中，ZBAC=90, AB=15, AC=20, AD丄BC,垂足为D,则厶ABC斜边上的高AD=125已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为（C ）A.12cmB. 60 cmC. 120 cmD. 10 cm1313136. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6, 8, 10.7. （易错题）已知直角三角形的两边x, y的长满足|x4|+JT于=0,则第三边的长为5或V7 &若直角三角形的三边长分别为2, 4, x,则x的可能值有（）A.1个B.2个C.3
6、个D.4个9已知直角三角形两边长分别为3、4,则第三边长为.10. 已知直角三角形的两直角边之比为3： 4,斜边为10,则直角三角形的两直角边的长分别为11. 如图，分别以Rt ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S、S、S表示，容易得出S、S、12312S之间有的关系式_S +S =S.312312. （易错题）如图，已知在RtAABC中ZACB=90, AB=4，分别以AC, BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于13. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为cm，则正方形A, B, C, D的面积之和为49 cm2
7、。3 / 1114. 在 RtAABC,ZC=90(1) 已知 c=17, b=8,求 a。(a=15)(2) 已知 a：b=l：2, c=5,求 a。(a=V5)(3) 已知 b=15,ZA=30，求 a, c。(a=5“3, c=10V3)15. 若直角二角形的二边长分别是n+1, n+2, n+3，求n。（n=2）16若直角三角形两直角边的比是3： 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。（S=96）考点2.勾股定理逆定理1. 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是 能构成直角三角形的是（填序号）3, 4, 5 1,3, 4 4,4,6 6, 8, 10 5,7,2 13, 5, 12
8、7, 25, 242在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（D ）A.a=9, b=41, c=40B.a=b=5, c=5*2C.a：b： c=3 ：4：5 D.a=ll, b=12, c=153若一个三角形三边长的平方分别为：32, 42, x2，则此三角形是直角三角形的X2的值是（D ）A. 42B. 52C. 7D. 52或 74下列说法不正确的是（B ）A.三个角的度数之比为1 ：3 ：4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3 ：4 ：5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3：4： 5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为5：12 ： 13的三角形
9、是直角三角形5. 若 ABC 的三边 a、b、c,满足（ab） （a2+b2 c2）=0,则厶ABC 是（C ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6有下列说法：若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；在 ABC中，a、b、c分别是ZA、ZB、ZC的对边，若a2+b2c2,则厶ABC是钝角三角形；在 ABC中，a、b、c分别是ZA、ZB、ZC 的对边，若 b2+c2=a2，则 ZC=900；在 ABC 中，a、b、c 分别是ZA、ZB、ZC 的对边，ZCM4 / 11900,则a2+b2c2。其中正确的是(D )A.B.C.D.7.下列说法
10、中正确的有( )如果ZA+ZB+ZC=3： 4： 5,则厶ABC是直角三角形；如果ZA+ZB=ZC,那么 ABC是直角三角形;如果三角形三边之比为6： 8： 10,则ABC是直角三角形；如果三边长分别是n2-l, 2n,M+l (nl), 则厶ABC是直角三角形。A.1个B.2个C.3个D.4个&若:c 13 +|a-12| + (b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是 直角 三角形.9. 如果 ABC的三边a,b,c满足关系式|a + 2b 18| + (b-18) 2+ |c 30 = 0则厶ABC是三角形。10. 已知：a、b、c为AABC的三边，且满足a2C2-b 2c2=a4
11、-b4,试判断 ABC的形状.解:*.* a2C2b2C2二a4b4,C2 (a2b2)= (a2+b2)(a2b2).c2=a2+b2./.ABC是直角三角形.问：(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号：(2)错误的原因为 除数可能为零;11. 已知 ABC的三边为a、b、c,且a ：b :c =1：1：,求三角形三个内角度数的比(4： ZB： ZC=1:1： ：V2)12. ABC的三边a、b、c满足1 a + b 501 + b 32 + (c 40)2 = 0 .试判断 ABC的形状.(直角三角形)13.已知 ABC的三边为a、b、c,且a+b=4, ab=1,
12、 c=14，试判定厶ABC的形状。(直角三角形)14.若厶ABC的三边a, b, c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC的形状.（直角三角形）15. 根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？（6; 8; 10;直角三角形）16. 若AABC的三边长为a, b, c,根据下列条件判断ABC的形状.(1) a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3 a2b+ab2 ac2+bc2 b3=0考点3.数轴表示无理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）1. 用圆规与尺子在数轴上作出表示的点，并补充完整作图方法
13、I I I I I I I I I I I I -5-4-3-2101234562. 在数轴上画出表示五7的点？-5-43-2101234563.在数轴上作出表示3- “2的点-5-4-3-2-10123456考点4:勾股定理几何应用1如图在矩形ABCD中,M是CD中点，AB=8, AD=3. (1)求AM的长；(2) MAB是直角三角形吗？为什么？(AM=5；不是直角三角形)2. 如图所示，在 RtAABC 中，ZACB=90, CD 是 AB 边上高，若 AD=8, BD=2，求 CD. (CD=4)3. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m,已知木箱高BE= a/3
14、 m，斜面坡角为30 ,求木箱端点E距地面AC的高度EF。(EF=3)4. 有一块土地形状如图所示,ZB=ZD=90 ,AB=20米,BC=15米,CD=7米，请计算这块地的面积.(S=234)5四边形 ABCD 中，ZB=90, AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。(S=36)6. 如图，在四边形 ABCD 中, AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,ZC=90 (1)求 BD 的长；(BD=5) (2)当 AD 为多少时，ZABD=90 ? (AD=13)D7农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD,他量得边长AB=90m, BC=120m, CD=130m, DA=140m,且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。（S=13800）&如图所示的一块地，AD=12m, CD=9m,ZADC=90, AB=39m, BC=36m，求这块地的面积.（二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：1. 一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙 下滑0.4m ,那么梯
