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1、 数学专题 对数与对数运算教师版二、点击考点考题1求如下各式的1；2；3；4解析1由，得，即；2由，得，即，故；3由，得故；4由，得故点评对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。考题2求如下各式的值：1；2；3分析利用对数的性质求解，首先要明确解题目目标是化异为同，先使各项底数一样，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算。解析1原式2原式=3原式点评对数的求值一般有两种方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算
2、法如此将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。考题3求解析条件与所求对数的底是不一样的，因此考虑应用换底公式。解法一：，解法二：，解法三：点评此题还有其他方法，这里，都是把指数式改写为对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它一样底数的对数，以便利用条件和对数的性质求解。考题41设，求的值.2均大于1，求分析1首先将指数式化为对数式，再利用对数的性质进展计算。2观察条件，真数一样，底数不同，假如将拆成、，如此问题获得解决，因此，要屡次使用等式解析1，2由得由得，由得，即，解得点评1此题1通过将、的值用换底公式转化为同底数的对数，再利用对数的运算法如此求值，此外，我们还可以用换底公式得到一
3、个常用的关系式，常用来把分式转化为整式。2对数的换底公式在解题中起着重要的转化作用，能够将不同底的问题转化为同底，从而使我们利用对数的运算性质解题的想法得以实现。考题5、为正数，且，求的取值围.解析，上式关于的方程有实根。.，或或点评对数知识又常常与其他知识交汇在一起，构成较复杂的题目，如此题与方程、不等式综合，这时首先要牢牢掌握对数的定义，注意其与指数式的转化；灵活运用运算法如此就可使问题得到解决。考题6科学研究明确，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14，碳-14的衰变极有规律，其准确性可以称为自然界的“标准时钟。动植物在生长过程中衰变的碳-14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着
4、的动植物每克组织中的碳-14含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳-14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期为5730年。1设生物体死亡时，体每克组织的碳-14含量为l，试推算生物死亡年后体每克组织中的碳-14含量P；2马王堆汉墓女尸体出土时碳-14的剩余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。解析1设生物体死亡后时，体每克组织中的碳-14的含量为1,1年后的残留量为，由于死亡机体中原有碳-14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数与其体每克组织的碳-14含量P有如下关系：死亡年数123碳-14含量P因此，生物死亡年后体碳-14的含量由于大约每
5、过5730年，死亡生物体的碳-14含量衰减为原来的一半，所以于是这样生物死亡年后体碳-14的含量2由对数与指数的关系，指数式，两边取常用对数得到，马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即，那么，那么由计算器可算得所以，马王堆古墓约是2100多年前的遗址。点评要计算，由于在指数上，计算是不可能的，当转为对数式可以计算其结果。三、夯实双基1a0化简得结果是AaBa2CaDa2log7log3log2x0，如此等于ABCD3等于A1B1C2D24假如2x2yxy，如此的值为A4B1或C1或4D5如下指数式与对数式的互化中，不正确的答案是 A与B与C与D与6的值为 A4B1C6D3
6、7在中，实数a的围是 A或BC或D8当时，如下说确的是 假如M=N，如此；假如，如此M=N；假如，如此M=N；假如M=N，如此A与B与CD9.10假如logaxlogbylogc2，a，b，c均为不等于1的正数，且x0，y0，c，如此xy_11假如lg2a，lg3b，如此log512_123a2，如此log382log36_13均为正数，求证：四、感悟高考1设如此。解析此题考查了分段函数的知识，如此，得故应填：2，如此 ABCD解析，应当选C。3方程的解.解析令 故应填：14方程的解是。解析，故应填：1,2。夯实双基参考答案：2C 3B4错解：由2x2yxy，得x2y2xy，解得x4y或xy，
7、如此有或1答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y 答案：D101112a22.2.2 对数函数一、考点聚焦1对数函数的概念形如的函数叫做对数函数.说明：1一个函数为对数函数的条件是：系数为1；底数为大于0且不等于1的正常数；自变量为真数.对数型函数的定义域：特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。2、由对数的定义容易知道对数函数是指数函数的反函数。反函数与其性质互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。假如函数上有一点，如此必在其反函数图象上，反之假如在反函数图象上，如此必在原函数图象上。利用反函数的性质，由指数函数的定义域，值域
8、，容易得到对数函数的定义域为，值域为，利用上节学过的对数概念，也可得出这一点。3、对数函数的图象和性质定义底数图象定义域值域单调性增函数减函数共点性图象过点(1,0)，即函数值特征对称性函数与的图象关于轴对称4对数函数与指数函数的比拟名称指数函数对数函数一般形式定义域值域函数值变化情况当时当时当时当时单调性当时，是增函数；当时，是减函数当时，是增函数；当时，是减函数图象的图象与的图象关于直线对称要牢记的反函数的图象，并由此归纳出表中结论。5、比拟大小比拟对数的大小，一般遵循以下几条原如此：如果两对数的底数一样，如此由对数函数的单调性底数为增；为减比拟。如果两对数的底数和真数均不一样，通常引入中
9、间变量进展比拟。如果两对数的底数不同而真数一样，如与的比拟.当时，曲线比的图象在第一象限上升得慢，即当1时，；当时，. 而在第一象限，图象越靠近轴对数函数的底数越大同考题2的含义当时，曲线比的图象在第四象限下降得快，即当时，；当时，即在第四象限，图象越靠近轴的对数函数的底数越小。6、求参数围但凡涉与对数的底含参数的问题，要注意对对数的底数的分析，需要分类讨论时，一定要分类讨论。二、点击考点考题1计算对数函数对应于取、64、128时的函数值。解析当时，；当时，；当时，；当时，点评此题主要考查学生利用对数运算法如此，准确地进展对数运算的能力，在计算过程中要将算式转化为公式结构，从而熟练地运用公式。
10、考题2如图是对数函数的图象，值取，如此图象相应的值依次是 A、B、C、D、解析当时，图象上升；，图象下降，又当时，越大，图象向右越靠近轴；时，越小，图象向右越靠近轴，应当选A。点评这类问题还可这样求解，过点(0,1)作轴的平行直线如图与的交点的横坐标，即为各对数底的值，显然，交点越在左边，底越小，这种求解方法简单易记。考点3，且1，函数与的图象只能是图中的 分析可以从图象所在的位置与单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数对图象的影响。解法一：首先，曲线只可能在上半平面，只可能在左半平面上，从而排除A、C。其次，从单调性着眼，与的增减性正好相反，又可排除D。解法二：假如，如此曲线
11、下降且过点(0,1)，而曲线上升且过，以上图象均不符合这些条件. 假如时，如此曲线上升且过(0,1)，而曲线下降且过，只有B满足条件。解法三：如果注意到的图象关于轴的对称图象为，又与互为反函数图象关于直线对称，如此可直接选定B。答案B点评函数图象是一个重要的问题，可从定义域、值域、单调性、对称性与特殊点入手筛选，对常见函数图象一定要掌握好。考点4，那么的取值围是。分析利用函数单调性或利用数形结合求解。解由，得当时，；当时，故，或答案或点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进展解答，理解会用以下几个结论很有必要：1当时，；2当时，考题
12、5设，1求；2求证：在上为增函数.解析1设，如此于是因此2设，如此即，即在上为增函数。点评问题1中所采用的换元法求解析式是复合函数解析式求法中经常用到的，复合函数的单调性问题，要注意讨论的单调性，这里，假如条件改为，且，该如何解答？考题6求如下函数的定义域：1解析要使原函数有意义，需即当时，当时，当时，原函数定义域为；时，原函数定义域为点评函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不能丢掉，然后求解.考题7设函数1假如的定义域为R，求的取值围；2假如的值域为R，求的取值围。解析1因为的定义域为R，所以对一切恒为正数，由此可得，且，解得2因为的值域为R，所以真数能取到一切正实数，由此可得，且，解得点评此题很多同学容易把1与2混为一谈，常用求解问题1的方法去处理问题2。区别它们的依据：对函数的定义域和值域的理解，以与二次、对数函数性质的应用。考题81的大小顺序为 ABCD2假如，试比拟的大小.解析1，选B。2，又，且，故有考题91假如方程的所有解都大于1，求的取值围；2假如，求的取值围.解析1原方程化为假如使，如此需，原方程等价于解得. 的取值围是2当时，有为增函数，结合，故当时，有为减函数，结合，的取值围是考题10假如不等式，当时恒成立，数的取值围.解析要使不等式在时恒成立，即函数的图象在恒在函数图象的上方，而图象过点.由图可知，显然这里函数递减，又，即所求的的
