《数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数值分析第五次程序作业PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序;用如上程序计算积分：1(f)=sin(x)dx取节点即,i = 0,-X 祸酒k = QL并分析误差；简单分析你得到的数据【复化Simpson积分公式】Simpson 法贝U:广b 曰/茸+b1_J 之f(a) + 4fj + f(b)使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：b - h设 n 是偶数，x, = a + ih h = , (0 W i W n)则有J；f0)dK ; J1G)dx + J：；*x)由十+ J；_2f(x)dx = E；/J：；，。)
2、*将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则：f(x)dx 七 手f(町)+ 2 f(x2i -。. J - f(xr) ai - 2i - 1公式的误差项为：-777(b 7)h(b) I DU其中B | (db)【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：/ +3山 a f(a) + f(b)如果划分区间a,b为：a = xq xi = b那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法 则：J f(x)dx 二 J f(x)dx * (xi - x； - i)Lf(x; - i) + f(xi) 9i = 1 Xi -
3、1i = i对等间距h=(b-a)/n及节点占=a + ih,复合梯形法则具有形式：小-1Jbf(x)dx Lf(a)+ 2工60 + ih) + f(b) ai = I误差项为： 丁 - 一【算法分析】复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果:1.利用 复化Simpson积分公式得:标准解的14位效值解为.6536436208636误差为:-2 . 271314075谩楚为:0.2GE145204e3误差为+ 0.01C4 08W8907 4 6误差为2.00C5乳一3。8Hm误麦为;0.0C0O36
4、1551305误差为：2.2470766 X10-6误差为 il.402463x 107N =1复合吕1111口3口11法则片算得：-1.。939992了4 39N =2复合白impmsi法则计算得：1 .n025Hl413299N =4复合日impsnn法贝I计算博：1.6644521099322N =0复合Simpm61法则正算得打.6542353517616N =16复合吕11*口口二法则计笄得二工65367 377石。匚21N =22复合自impsdiL法则计算得二1.652645自679402N =4复合法则计算得士 1.653437611C95N =128复合Simp与on；五则计
5、算i号门.633643白296259误差为：8. 7623 K，。一学N =256复合 31mp 吕 on 法则计算需:1.6536436214112误差为:5.476 x 10-1&N =512复合巴公臼口!法则计算得：工.53642620白978误差为：3 . 42 x 1(T门N =1024复合虹mp-n法则计算博以. 5364362。日E5B混差为0.1 x 10.】工N -2046复合口impgri法则计算泻：:L .二误差为；1 .乂 10一工,N =409复合SimpQn法则计算得；l.E5364M2QB636误差为：0 K1。一工,可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越
6、小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用 Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内 4阶导数值和区间长度的 4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。2.利用复化梯形积分公式得:桶隹解的14位数值解为:1,653432083N =1复合梯形法则计算用6136049906159N =2复合梯形法则计算得06179235224m4误差为：3.1572496114795 误差为:-0-5918512625202N =4复合梯形法则计算再= 1.5工34日71720395误差为
7、：-0 .14015644 B8241N =&复合梯形法则计算得1.6工9D4R 306g误差为t - 0.03459531 “22名N =16复合梯形法则计算得：1.450219087093N =32复合梯形法则计算得门.651469日7 g325N =64复合梯形法则计算得11.65310 52903656误差为:-0 .0086217121543误差为:-04 0021537 427311误差为 040005383304980N =128复合梯形法则计算得：16535090448109N =256复合梯形法则计算得：1.85380997”611N =512复合梯形法则计算得：1.8536
8、3520998日7N =1024复合耕形法贝ij计算得：1.653415181465N -2040复合梯形法则计算得653s30051B44N =4096复合梯形法则计算得：1.653 6434日9443日误差为:-0.000134 570528 误差为:- Q.000033fi43025误差为:-8.4108750X 10-e误差为 2二027工力黑11- 误差为：-5.256792 x 1。一 误差为：-1.314190 x 10-?可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内
9、2阶导数值和区间长度的 2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越 来越好。【分析】通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间 内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前 者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。【程序】Mathematica 程序为: 复合Simpson法则:Clear f, k/ t：, 31 h;f jl : = Sin x;
10、s = N Integrate Sinx , T 0 f 4 , 14;Fer k - 0f k 12, k*f h = 4 / (2Ak);t = N (h / 3) * (f 0 + 2 * Sum Sin (2 i - 2) *h , (i, 2 , 2A (k - 1) , 1)* 4 SumSln(2i - 1) * h f 1, lf 2 A (k- 1) f 1) +f 4),14; ak三 t;PKn匕标准解的14位数值解为二”，与卜For k 二0, k 12, k + + , Print J K = , 2 A k, 11“复合Eijnp臼cm 法刷计算得小,a k, L 误差为:ak - s复合梯形法则:Clea.r f , k ,七,s , h;f Jt_ : = Sin a fS - N Integra.te Sin x t x, 0 f 4 f 14;rork = 0, k i 12. k+*, h = 4 / (2Ak);t = N (h/2) * (f 0 + 2 * SumSini*h . (i, 1, 2Ak - 1, 11 * f 4 ,14; ak = t;漏准解的14位数值解为:”，s;Fork = 0, k = 12, k + + , Print TN =, 2*k, 11, 复合梯形法则计算得：，ak, l 误差为:r ak -s
