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1、高考数学70分强化训练解答题标准练(四)1.已知在 ABC,角 A B, C所对的边分别为 a, b, c, cos(2 B+ 2Q+3cos A- 1 = 0,且 ABC勺外接圆的直径为 2.(1)求角A的大小；(2)若ABC勺面积为2求 ABC勺周长；当 ABC勺面积取最大值时，判断 ABC勺形状.解 (1)由题意知 2A+ 2B+ 2C= 2 兀,所以 cos(2 B+ 2Q + 3cos A- 1 = cos 2A+ 3cos A- 1=0, 即 2cos2A+ 3cos A 2=0,1解得 cos A= 2(舍去)或 cos A= 2.1兀又0VA兀，所以A=.(2)由题意及正弦定理
2、得 一工 =2,sin A所以 a= 2sin -3-=乖.1因为 ABC勺面积S= 2bcsin A= 2 所以bc=8,由余弦定理得 a2= b2+ c2- 2bccos A 22= (b+c)2 3bc= (b+c)2-24=3,所以 b+ c= 3 3,所以 ABC勺周长为 a+b+c=3+3V3=4/3.(3)由余弦定理得3=b2 + c22bccos降bc,当且仅当b=c时等号成立，所以 S= 1bcsin A= fg 在 3= F，当且仅当b=c时等号成立，.- .一 .一 一.TT故当 ABC勺面积取最大值时，b=c,又A=w，3所以ABC等边三角形.2.如图，在平面多边形 A
3、BFCDE,四边形ABF泼边长为2的正方形，四边形DCFE等腰梯 形，G为CD的中点，且 DC= 2FE, DE= CF= EF,现将梯形 DCFE& EF折叠，使平面 DCF曰平 面 ABFE(1)求证：EGL平面BDF(2)求平面GE/平面CBF成锐二面角的余弦值.证明 连接GF由已知得 DG/ EF, DG= EF,四边形DEFG;平行四边形.又DE= EF,，平行四边形 DEF曳菱形，EGL DF.平面DCF艮平面 ABFE平面 DCF旧平面 ABFE= EF, BF EF, BF?平面ABFE. BF，平面 DCFE又 EG 平面 DCFE BFL EG又 BFA DF= F, BF
4、, DF?平面 BDF.EGL平面 BDF(2)解 取EF的中点Q连接GO则GCL平面ABFE过点O在平面ABFEJEF的垂线，交 AB于点H,则以OH OF OG所在的直线分别为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐 标系，则 E(0, 1,0) , B(2,1,0)F(0,1,0), G(0,0 ,欣),EB- (2,2,0) , EO (0,1 ,夜)，FB- (2,0,0) , FOEO (0,1 ,木).设平面GEB勺法向量为件(x, y, z),m- EB= 0,2x+2y=0,则即 广m. EG= 0,y+V3z=0，取x =小,则y= / z=1,则m= h/3, -3,
5、1)为平面GEB勺一个法向量 设平面CBF的法向量为n= (x , y , z),n - FB= 0,2x = 0,则即 广n FC= 0,y + v3z，= 0， x =0,取 y =一#,则 z =1,则n = (0, 、/3, 1)为平面CB用勺一个法向量cos m,nm- n 42;I m I n| -Skc)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由表格数据可得2X2列联表如下:非移动支付活跃用户移动支付活跃用户总计男252045女154055总计4060100将列联表中的数据
6、代入公式计算，得-2n adbc 2a+b c+d a+cb+d2100 25X4015X20240X60X55X452 450297 8.2497.879.所以在犯错误概率不超过 0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支彳达人”的概率为1,女“移动支付达人”的概率为2. 33抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P= 1_ 14_ 2 4=64P 13381.记抽出的男“移动支付达人”人数为Y,则X= 300Y.由题意得YB4, 1 ,3P(Y= 0) =
7、 C0 3 0 2 43 316布12P(Y= 1) = C43 33281；12P(Y= 2) = C4 3 324887= 27；3 1 3 2 18P(Y= 3) = C4 ;3 38 14 1 4 2 o 1 4) = C4 3 3 =8?.所以Y的分布列为DI63288iP所8i278i8i所以X的分布列为X0300600900i 200PI63288i8T8T278i8i由 E( Y) =4X -= 3 3得X的数学期望 E(X) =300E(Y) =400. 224.已知椭圆C： x4+y2=1,动直线l过点A(0,1)且与椭圆C交于P, Q两点.(1)求弦PQ的中点M的轨迹方程
8、；(2)设O为坐标原点，问是否存在常数入，使得入京及计0? OQJ定值？若存在，求出 入的值；若不存在，请说明理由.解(1)当直线l的斜率不存在时，易知点M0,0).当直线l的斜率存在时，设直线 l的方程为y=kx+1,P(xi, yi), Qx2, y2), Mx, y)(yw0).x2+2y2=4,22由得(2k +1)x +4kx-2 = 0,y=kx + 1, = (4k)2+8(2k2 + 1)0 恒成立，,4k2则xi+x2-汞Z7, xix2=-2?Z7.xi + x2 _2k所以 X 2 2k2+ i，2ki y=Q -2k2T7 +i=2k2n, 两式联立，得 x2+2y22
9、y =0(yw0).又(0,0)适合上式，故弦PQ的中点M的轨迹方程为x2 + 2y2 2y = 0.(2)当直线l的斜率存在时，由(I)知入由 aqOf3- OQ=入xix2+(yii)( y2i) +xix2+yiy2 2、=(i + 入)(i + k)xix2+ k(xi + x2) + i一 2 入 一 4 k+ 2 入 一 1=2k2+1入一 1= -2k2+7-1 T ,、，r. 入一1，、所以当 入 =1 时，- 2k2+ 1 一 入 -2 为te值- 3.当直线l的斜率不存在时，易知入崩 AQbOp 03定值一人一2,当入=1时，一入一 2 =-3.综上，存在常数入=1,使得
10、入APAihOpO(为定值一心ex+ ax25.已知函数f(x)= alnx3.x.(1)当2=e时，讨论函数f(x)的单调性;(2)讨论函数f(x)的零点个数.解(1)函数f(x)的定义域为(0, +8),当a=e时,x e (x)=x-1-2xx 1ex ex2xx-1 e= - e .x xexxex ex ex x 1设 h( x) = , x0,贝U h (x) = -x2-=x2令 h (x)0 ,贝U x1，令 h (x)0 ,贝U 0x h(1) = e,即2一e0在(0 , +)上恒成立x令 f (x)0 ,贝U x1，令 f (x)0 ,贝U 0xe 时，f (x)min=
11、 e+a0, f(x)无零点，当2= e 时，f(x) min= e+a=0, f(x)只有一个零点.x e右ae,根据 知，方程a=0有两个不相等的实数根 xi, x2,且0xi1x2,xxx当 0x0,当 xixx2时，一十ax2 时，一十a0. xxx因此当 0xxi时，f (x)0,当 xix0,当 1xx2时，f (x)x2时,(x)0,故f(x)在(0 , xi)和(i, x2)上是减函数，在(xi,i)和(x2, +8)上是增函数，,十 一、ex + ax_2i + sin 2 0 .(i)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A, B两点，求| PA | PB的值.22222斛 (i)由 P = i + sin 2 e，得 P + P sin 8=2,令 p 2=x2+ y2, p sin 0 = y, 得 x2+y2 + y2=2,即+y2=i,x22所以曲线C的直角坐标方程为x2 + y2=i.,ex+ax2-axln x ”x ,2. 八、八由于 f(x)= aln x =,当 xO 时，e + ax axln x0, f(x)0；xx当 x一十 00时，ex+ax20, axln x0, f(
