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1、 2021年日本东京大学入学考试理科数学试题解析 彭 刚 陈映彤 (广西师范大学数学与统计学院 541004)东京大学是日本最顶尖的综合性大学，汇聚了日本一流的人力资本和学术资源.在日本 近代数学的发展中，东京大学扮演了举足轻重的角色1877年日本东京数学会和东京大学 理学部成立，日本现代数学研究正式拉开帷幕.曾获菲尔兹奖和沃尔夫奖的著名数学家小平邦彦(Kunihiko Kodaira，19151997)就曾在东京大学工作过.时至今日，东京大学仍是日本最重要的数学研究机构.与日本其他著名高校一样，东京大学每年通过大学入学考试为其选拔大批优秀后备人才，不断增强本校数学研究的力量.日本著名大学入学
2、考试作为选拔高水平人才的得力方式，其试题的设置方式与内容均值得我们借鉴本文对东京大学2021年数学入学考试试题进行解析，希望对当前中国实施的“强基计划”提供参考.1 试题概述日本国公立大学的选拔一般由两场考试构成学生首先需通过全国统一的大学入学考试，成绩合格后才有资格参加国家公立大学自主组织的入学考试.东京大学自主组织的入学考试数学试题分为理科卷和文科卷，本文介绍的即为2021年东京大学入学考试中的理科数学试题.依据日本最大的教育辅导社河合塾提供的数据，2021年东京大学理科数学试题的总体难度与2020年持平，较2019年有所上升.试题中的题目均为解答题，共6大题(每个大题都包含若干个小题)，
3、总分为120分，考试总时长为150分钟.从内容方面来看，这些题目涉及的知识领域包括初等数论、初等代数、解析几何以及微积分.下面我们对这6道问题进行解析.2 试题解析第1题 已知a,b为实数，平面直角坐标系中有抛物线C：y=x+ax+b，它与抛物线y= -x有两个交点，且两个交点的横坐标分别满足x(-1,0)，x(0,1).(1)在平面直角坐标系中表示出点(a,b)的范围；(2)在平面直角坐标系中表示出抛物线C的范围.解 (1)由得2x+ax+b=0.设f(x)=2x+ax+b，依题意知f(x)的图象与x轴的两个交点为(x,0),(x,0)，且 -1x0,0x1.由x,x的分布可知即从而得到平面
4、直角坐标系中点(a,b)的范围(如图1所示，a轴上的点除外).图1(2)设(1)中点(a,b)的范围为D，抛物线通过的范围设为E，(x,y)为E中任意一点，则(x,y)满足的条件为：在xOy平面上，满足y=x+ax+b且(a,b)在D中；这等价于：在aOb平面上，直线b=-xa+y-x与D有公共点.令g(a)=-xa+y-x，可分为以下四种情况讨论：当-x-1即x1时，有所以x-2xyx+2x；当-1-x0即0x1时，有所以x-2yx+2x；当0-x1即-1x0时，有所以x-2yx-2x；当-x1即x-1时，有所以x+2xyb，令证明：存在正奇数K,L满足KA=LB；(3)a,b满足(2)中条
5、件，且a,b同奇偶，证明：与除以4的余数相同；(4)求除以4的余数.解 (1)由于4|(K-L)，令K-L=4n(n为整数)，则K=L+4n又KA=LB，故(L+4n)A=LB，即L(A-B)=-4nA，而L为奇数，所以A-B是4的倍数，从而得到A与B被4除的余数相同.(2)依题可知，令r=4a(4a-4)(4a-4b+4)，r=(4a+1)(4a-3)(4a-4b+1)，r=(4a-2)(4a-6)(4a-4b+2)，r=(4a-1)(4a-5)(4a-4b+3)，以及t=4b(4b-4)84，t=(4b+1)(4b-3)51，t=(4b-2)(4b-6)62，t=(4b-1)(4b-5)7
6、3，高级氧化模块又称做深度氧化模块，在高温高压、电、声、光辐照、催化剂等反应条件下，产生具有强氧化能力的羟基自由基(OH)，使大分子难降解有机物氧化成低毒或无毒的小分子物质的修复模块。高级氧化模块具有处理效率高，泛用性好，体积小等优点，广泛应用于各种污染场地地下水处理。西玖环保通过多年经验积累，对高级氧化模块处理工艺进行优化，达到业内较高的处理效率和设备寿命。一套设备可以拆卸成多个模块运输到下一个污染场地继续使用，有效降低地下水处理成本，大大提高了资源利用率。则有从而得到令L=rr(2a-1)(2a-3)(2a-2b+1)，K=tt(2b-1)(2b-3)31，此时K,L均为正奇数，且满足即有
7、KA=LB.(3)易知rt(mod 4)，rt(mod 4)，又2|(a-b)，故4|(2a-2b)，即2a 2b(mod 4)，从而有(2a-1)(2a-3)(2a-2b+1)(2b-1)(2b-3)(2b-2b+1)=(2b-1)(2b-3)31(mod 4)因此KL(mod 4)，结合(2)的结论便可得到(4)由(3)可知所以除以4的余数为3.点评 本题主要考查整除和同余理论，内容属于“初等数论”，难度层次为“较难”.本题共有4个小问，并且它们环环相扣，问题的设计很精妙.本题引入了组合数，因而增加了题目的难度，解题者需要根据(1)中的结论，将组合数展开中的诸多整数按照模4的余数进行分类，并通过换元来简化运算，具有很强的技巧性.第5题 已知为正实数，关于的函数f()为平面上A，P两点距离的平方，这两点的坐标分别为A(-，-3)，P(+sin,cos)(0).(1)证明：当0时，存在唯一的使得
