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1、 2013年考题1.（2013安徽高考）设，函数的图像可能是（ ）【解析】选C.可得的两个零解.当时,则当时,则当时,则选C。2.（2013广东高考）函数的单调递增区间是 A. B.(0,3) C.(1,4) D. 【解析】选D.,令,解得,故选D3.（2013湖南高考）设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数取函数=。若对任意的，恒有=，则 AK的最大值为2 B. K的最小值为2CK的最大值为1 D. K的最小值为1 【解析】选D。由知，所以时，当时，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。4.（2013湖南高考）若函数的导函数在区间
2、上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）yababaoxoxybaoxyoxybA B C D【解析】选A因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数5.（2013天津高考）设函数则A在区间内均有零点。B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。【解析】选D.由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又。6.（2013江苏高考）函数的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可
3、填写闭区间或半开半闭区间。【答案】7.（2013辽宁高考）若函数在处取极值，则 【解析】f(x) f(1)0 a3 【答案】38.（2013安徽高考）已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。【解析】的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.9.（2013安徽高考）已知函数，
4、a0， （）讨论的单调性； （）设a=3，求在区间1，上的值域。其中e=2.71828是自然对数的底数。【解析】(1)由于令 当,即时, 恒成立.在(0,)上都是增函数.当,即时由得0或 或又由得综上当时, 在上是增函数.当时, 在上是减函数,在上都是增函数.()当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为 10.（2013福建高考）已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f
5、(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与
6、曲线在点P处切线的斜率之差KMP-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于M，P的公共点与KMP的m正负有着密切的关联；KMP=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足KMP=0的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率KMP 当Kmp=0时，解得 (舍去)直线MP的方程为令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.（2）类似（1）中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）
7、由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在x1=-1，x2=3处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的t的最小值为2.11.（2013福建高考）已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点
8、；【解析】解法一：（I）依题意，得 由得（）由（I）得 故 令，则或 当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+-+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）当时，得 由，得 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线， 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共
9、点解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）当时，得，由，得由（）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为 由得解得所以线段与曲线有异于的公共点 12.（2013广东高考）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 【解析】（1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ， ， 设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即
10、；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.13.（2013广东高考）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【解析】（1）设直线：，联立得，则，（舍去），即，（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. 14. （2013山东高考）已知函数,其中 当满足什么条件时,取得极值?已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.【解析】 (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 当时,
11、x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f (x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,为单调增函数;当时,为单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 15.（2013海南宁夏高考）已知函数.设，求函数的极值；若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.【解析】（1）当a=1时，对函数求导数，得 令 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是（2）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若a1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 16.（2013海南宁夏高考）已知函数()如，求的单调区间；()若在单调增加，在单调减少，证明6. 【解析】（）当时，故 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以
