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1、两条直线的位置关系判断方法0,l2：a2x b2y c20设平面上两条直线的方程分别为h : a/ by G.行列式法记系数行列式为aia2,Dxc2 b2,Dyaia2qC2li和2相交aib2a2bili和l2平行0, Dx 0 或 D 0, Dyli和l2重合DxDy0虫 a2,b2 0 ；b2；li和l2相交二.比值法li和l2垂直a1 b1a2b20 ；11 和 12平行a1Cia2,b2,C2a2b2C211 和 12重合更biCia2 ,b2 ,C2a2b2C20 ；aia2三.斜率法l1: y k1xbi02：yk2x b20 （条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式）li与
2、l2相交kik2li与 l 2平行kik2,bib2li与 12重合kik2, bib2 ；|勺与|2垂直k1.k2 -1 ；特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件（分母不为零）；再考虑斜率法，但也有条件 （两条直线的斜率都存在），最后选择行列式（无条件）；注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；（3）两条直线平行它们的斜率均存在且相等或者均不存在；（4）两条直线垂直他们的斜率均存在且乘积为 -1，或者一个存在另一个不存在；例题分析1. 下列命题中正确的是（B ）A. 平行的
3、两条直线的斜率一定相等B. 平行的两条直线倾斜角相等C. 两直线平行的充要条件是斜率相等D. 两直线平行是他们在 y轴上截距不相等的充分条件分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行，此时斜率不存在；C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在轴上的截距，反之显然不成立；2、 若I 1与12为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为ai, a2,斜率分别为ki, k2，则下 列命题(1 )若 I1/I2，则斜率 ki=k2;(2)若斜率 ki=k2，则 li/l;(3 )若 11 /12，则倾斜角 ai=a2；( 4
4、 )若倾斜角 ai=a2， U li/l;其中正确命题的个数是(C )A. 1B . 2 C . 3 D . 4分析：(3)(4)对，此时要注意已知条件I1与I2为两条不重合的直线3、 已知两条不重合的直线I 1, I 2的倾斜角分别为a i,a 2,给出如下四个命题： 若sina1=sin a 2,贝UI1 / 12 若COSa1=COS a 2,贝UI1 / I 2 若 11丄12，贝U tan a 1? tan a 2=- 1 若 I 1丄1 2，贝U sin a 1Sin a 2+COS a 1COS a 2=0其中真命题是(B )A. B . C . D .分析：sin a 1=si
5、n a 2,可知a 1=a 2或a 1 + a 2 = n,因为倾斜角a 1, a 2的范围0, n ,所以不一定推出； COS a 1=COS a 2 ,可知a 1= a 2 ,因为倾斜角a 1, a 2的范围0, n，所以可以推出；n 如果成立的话，必须斜率存在，可是a 1= n ,a 2 =，致使斜率不存在；若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立, 下证，不妨设a 1= n，a 2 =上，此时也成立；24、 已知直I1:3x (k 2)y 60 与直线 a : kx (2k3)y 20 ，记3 (k 2)k 2k 30 ”是”两条直线li与直线12平行”的A
6、.充分不必要条件;B 必要不充分条件充要条件；D 既不充分也不必要条件5、若直线|1: x ay2a 2与直线12: ax1不重合，则li / I2的充要条件A. a1 ； B.D. a 1 或a 1分析:1:比值法,此时要保证分母不为零，故讨论0 时，l1 : x 2 ；I2： y 1，此时垂直，不满足条件，舍去-1 时，h:x y0 ； I2: y x 0,此时重合，舍去0,-1 时，1(/12法2. D1 a2,Dx (a 2)(a1);Dy2a 1(a 1) a 1类似也可以用斜率法，此时只需要讨论a0和a 0两种情况6、直线 |1 : ax y 10,l2: x by 10,则旦b1
7、是 l1 l2的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：l1 l2 a b 07、“ a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1的A.充分不必要条件；B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：（比值法：先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零，若有就把其作为分母）a20直线ax+2y=0平行于直线x+y=1a 21118.已知直线2 2h:(2m m 3)x (m m)y 4m 10 与 直 线l2: 2x (a1)y3 0a R(1)m 为m91且m98_时，h与匚相交；m为一6 _时，h与l2垂直；分析：直线方程含有参数
8、m，故必须保证这个方程表示的是直线（x,y前面的系数不全为零）,故m 1（1） h与12相交m 9 ；h与12垂直m 689、已知直线11 : y xsin a a R和直线12 : y 2x c,则下列关于直线IJ2关系判断正确的有.通过平移可以重合；不可能垂直；可能与x轴围成直角三角形；分析：如果两条直线平移之后可以重合，就必须满足斜率相同，可是sin a 2如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1，此时 sin a 21 , a5n6x轴围成直角三角形，因为只要有由第问中，可知这两条直线有可能垂直，故可能与一个角是直角就可以啦；10、若直线11： 2x+ （m+1 y+4=0与直线I 2：
9、 mx+3y- 2=0平行，则 m的值为（ C ）A. 2B- 3 C 2 或3 D - 2 或3分析：同第5题11、已知Pi (ai, bi)与P2 (a2, b2)是直线y=kx+1 (k为常数)上两个不同的点，则关于 xIf x+b 1尸1和y的方程组的解的情况是(B )2 K 4b 21A.无论k, Pi, P2如何，总是无解B.无论k, Pi, P2如何，总有唯一解C.存在k, Pi, P2,使之恰有两解D.存在k, Pi, P2，使之有无穷多解分析：此时使用行列式法，否则用其他方程需要讨论，因为要保证使用条件, 故下面只需要先判断a1b2 -a2b1是否为0证：因为Pi (ai, bi)与F2 (a2, b2)是直线y=kx+i (k为常数)上两个不同的点并且直线y=kx+i的斜率存在,即 aia 2,并且 bi=kai+1, b2=ka2+1,-a?bi aib2=a2 ( kai+1)- ai (ka2+1)=ka 也2 kaia2+a2 一 ai=a2一 ai方程组有唯一解.
