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1、课时跟踪检测(六十)最值、范围、证明问题(分、卷,共2页)第卷:夯基保分卷1. 已知抛物线C:x22py(p0),其焦点F到准线的距离为.(1)试求抛物线C的方程;(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N,若MN是C的切线,求t的最小值2已知椭圆C:1(ab0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围3.(20xx南京二模) 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:1(ab0)的离心率为,以原点
2、为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上第卷:提能增分卷1(20xx石家庄模拟)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)、F2(1,0),过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点(1)若ABF2为正三角形,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的离心率满足0e,O为坐标原点,求证:|OA|2|OB|2|AB|2.2. (20xx西安质检)如图,已知中心为坐标原点O,焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积
3、为2的正方形(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于A,B两点,当OAB面积最大时,求直线l的方程答 案第卷:夯基保分卷1解:(1)因为焦点F到准线的距离为,所以p.故抛物线C的方程为x2y.(2)设P(t,t2),Q(x,x2),N(x0,x),则直线MN的方程为yx2x0(xx0)令y0,得M,所以kPM,kNQx0x.因为NQQP,且两直线斜率存在,所以kPMkNQ1,即 (x0x)1,整理,得x0.又Q(x,x2)在直线PM上,则与共线,得x0,由,得(t0),所以t,所以t或t(舍去)所以所求t的最小值为.2解:(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意,得c1.因为
4、椭圆C的离心率为e,所以a2c2,b2a2c23.故椭圆C的方程为1.(2)当MNx轴时,显然y00.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为yk(x1)(k0)由消去y并整理得(34k2)x28k2x4(k23)0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1x2.所以x3,y3k(x31).线段MN的垂直平分线的方程为y.在上述方程中,令x0,得y0.当k0时,4k4,当且仅当4k,k时等号成立;当k0时,4k4,当且仅当4k,k时等号成立所以y00或0y0.综上,y0的取值范围是.3解:(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离,即b.因为离心率
5、e,所以 .所以a2.所以椭圆C的方程为1.(2)由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(x0,y0),则直线PM的方程为yx1, 直线QN的方程为yx2.设T点的坐标为(x,y)联立解得x0,y0.因为1,所以221.整理得(2y3)2,所以12y84y212y9,即1.所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上第卷:提能增分卷1解:(1)由椭圆的定义知|AF1|AF2|BF1|BF2|,|AF2|BF2|,|AF1|BF1|,即F1F2 为边AB上的中线,F1F2AB.在RtAF1F2中,cos 30,则,椭圆的离心率为.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),0e,c1,
6、a.当直线AB与x轴垂直时,1,y2,x1x2y1y21,a2,0,AOB恒为钝角,|OA|2|OB|2|AB|2.当直线AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程为:yk(x1),代入1,整理得,(b2a2k2)x22k2a2xa2k2a2b20,x1x2,x1x2,x1x2y1y2x1x2k2(x11)(x21)x1x2(1k2)k2(x1x2)k2令m(a)a43a21,由可知m(a)0,AOB恒为钝角,恒有|OA|2|OB|2|AB|2.2解:(1)设椭圆方程为1(ab0),由已知得,解得所以所求椭圆的标准方程为y21.(2)根据题意可知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)由方程组,消去y得关于x的方程(12k2)x28kx60.由直线l与椭圆相交于A,B两点,则有0,即64k224(12k2)16k2240,解得k2.由一元二次方程的根与系数的关系,得故|AB|x1x2|.又因为原点O到直线l的距离d,故AOB的面积为SAOB|AB|d.令m(m0),则2k2m23,所以SAOB,当且仅当m2时等号成立,此时k,直线l的方程为x2y40.