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1、（福建专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 立体几何中的向量方法课时闯关（含解析）一、选择题1(原创题)如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(0,2,1)，b(，)，那么这条斜线与平面的夹角是()A90B60C45 D30解析：选D.cos，因此a与b的夹角为30.从而可得斜面与平面的夹角为30.2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为、，则等于()A120B60C75 D90解析：选D.建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，A(2,2,
2、0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)则(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)，cos，cos，cos，sin，cos，sin，90，故选D.3(2010高考大纲全国卷)正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选D.如图，连接BD交AC于O，连接D1O.由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O，cosDD1O.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.4直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90
3、，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为()A60 B45C30 D90解析：选D.建立坐标系如图所示，易得M(0,0，)，A1(0，0)，A(0，)，B1(1,0,0)，(1，)，(0，)1030，.即AB1A1M.5已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是()A. B.C. D.解析：选C.如图建立坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则
4、即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d，故选C.二、填空题6(2012漳州调研)长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.答案：7.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_解析：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直
5、于AB)，则C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D(，2)，则(，2)，(，1,2)设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又(，2)，sin|cos，n|.答案：8.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，则二面角C1ABC的余弦值为_解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，(0,1,2)，(，0)设n(x，y，z)为平面ABC1的法向量，则取n(，2，1)，同理取m(0,0,1)作为平面ABC的法向量则cosm，n.二面角C1ABC的余弦值为.答案：三、解答题9(2010高考天津卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E
6、，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设AB1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，0)(1)易得(0，1)，(0,2，4)，于是cos，.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明：易知(1,2,1)，(1，4)，(1，0)，于是0，0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u(x，y，z)，则即不妨令x1，可得
7、u(1,2，1)，由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，于是cosu，从而sinu，.所以二面角A1EDF的正弦值为.10四棱锥PABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示(1)写出四棱锥PABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥PABCD中，若E为PA的中点，求证：BE平面PCD；(3)在四棱锥PABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为(090)，求cos的值解：(1)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD平面PAB，BC平面PAB，AB平面PAD.CD平面PAC.(2)依题意AB，AD，AP两两垂直，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
8、，如上图则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)E是PA的中点，点E的坐标为(0,0,1)，(2,0,1)，(2,2，2)，(0,4，2)设n1(x，y，z)是平面PCD的法向量由即取y1，得n1(1,1,2)为平面PCD的一个法向量n12101120，n1，平面PCD.又BE平面PCD，BE平面PCD.(3)由(2)，平面PCD的一个法向量为n1(1,1,2)又AD平面PAB，平面PAB的一个法向量为n2(0,1,0)cos|.一、选择题1.如图所示，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BCCACC1，则BD
9、1与AF1所成角的余弦值为()A. B.C. D解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，设BCCACC12，则A(2,0,0)，B(0，2,0)，C1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(0，2,2)D1、F1为A1B1、A1C1的中点，D1(1,1,2)，F1(1,0,2)，(1，1,2)，(1,0,2)，(1，1,2)(1,0,2)3，|，|，cos，.2.(2010高考北京卷)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关
10、B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关答案：D二、填空题3已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若ABCD2，则四面体ABCD的体积的最大值为_解析：过CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD22hh，当直径通过AB与CD的中点时，hmax22，故Vmax.答案：4.(2011高考湖北卷)如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy(其中y轴与y轴重合)所在的平面为，xOx45.(1)已知平面内有一点P(2，2)，则点P在平面内的射影P的坐标为_；(2)已知平面内的曲线C的方程是(x)22y22
11、0，则曲线C在平面内的射影C的方程是_解析：(1)设点P在平面内的射影P的坐标为x，y，则点P的纵坐标和P(2，2)纵坐标相同，所以y2，过点P作PHOy，垂足为H，连结PH，则PHP45，P横坐标xPHPHcos45xcos4522，所以点P在平面内的射影P的坐标为(2,2)；(2)由(1)得xxcos45x，yy，所以代入曲线C的方程(x)22y220，得(x)22y220(x1)2y21，所以射影C的方程填(x1)2y21.答案：(2,2)(x1)2y21三、解答题5.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1平面A1DB，D为AC的
12、中点(1)求证：平面A1ABB1平面BCC1B1；(2)求证：B1C平面A1DB；(3)设E是CC1上一点，试确定点E的位置，使平面A1DB平面BDE，并说明理由解：(1)证明：如图，连结AB1交A1B于O点，连结OD.AC1平面A1DB，A1B平面A1DB，AC1A1B.又在正方形A1ABB1中，A1BAB1，AC1AB1A.A1B面AC1B1.又B1C1面AC1B1，A1BB1C1.在正方形BCC1B1中有B1C1BB1，又BB1A1BB，B1C1平面A1ABB1.平面A1ABB1平面BCC1B1.(2)证明：由(1)知BC，BB1，BA两两垂直，如图以B为原点，BC，BB1，BA分别为x
13、，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，设正方形边长为1，则C(1,0,0)，C1(1,1,0)，B1(0,1,0)，A1(0,1,1)，A(0,0,1)，D(，0，)由AC1平面A1DB，得平面A1DB的一个法向量为n(1,1，1)(1，1,0)，n(1，1,0)(1,1，1)1100.又B1C平面A1DB，B1C平面A1DB.(3)设点E(1，b,0)，平面BDE的法向量为m(x，y，z)，则由得令y1，则m(b,1，b)，由mn(b,1，b)(1,1，1)0，得b，即当E为CC1中点时，平面A1DB平面BDE.6.(2011高考四川卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.求证：CDC1D；求二面角AA1DB的平面角的余弦值；求点C到平面B1DP的距
