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1、第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C卷）（时间:2014 年 3 月 14 日 10:0011:00）一、选择题（每小题10分，满分60分.的英文字母写在每题的圆括号内）911131517111120203042567234A. 42B. 43以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案（）.C. 15-D. 162332 .如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线.这两条直线成45度角.最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米，那么从左向右数第 4棵树的高度是（） 米.A. 2.6B. 2.4C. 2.2D. 2.03 .春季开学
2、后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁 4位同学有如下的对话：甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人中至少有2人捐了款”丁： “你们3人中至多有2人捐了款”己知这4位同学说的都是真话且其中恰有 2位同学捐了款，那么这 4位同学是（）.A.甲、乙B.丙、丁C.甲、丙D.乙、丁4 .六位同学数学考试的平均成绩是 92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99分，最低的76分， 那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（）.A. 94B. 95C. 96D. 975 .如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线
3、 AC上一点；如果 DEH、 BEH、 BCH的面 积依次为56、50、40 ,那么 CEH的面积是（）.A. 32B. 34C. 35D. 366 .一个由边长为1的小正方形n n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是（）.A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每小题10分，满分40分.）7 .在每个格子中填入 16中的一个，使得每行、每列及每个 2 3长方形内（粗线框围成）数字不重复； 如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是.8 .整数n一共有10个约数，这些约数
4、从小到大排列.笫8个是-.那么整数的最大值是.39 .在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是_平方厘米，两块阴影部分的周长差是 厘米.（取3.14）10 . A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进.当甲在 C地追上乙时，甲的速度减少 40%;当甲追上丙时，甲的速度再次减少 40%;甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%;如乙追上丙后再行 50米，三人同时到D地.已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟 米，A、D两地间的路程是 米.第二十届华罗庚
5、金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C卷）参考答案12345CBB678910B15975； 485125； 1880参考解析、选择题（每小题10分，满分的英文字母写在每题的圆括号内60分.)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案91113151711120203042567234A. 42B. 43C. 151D. 16233【考点】速算巧算【难度】【答案】A11111111114126【解析】原式1111111111120412642.4556677889332.如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线.这两条直线成45度角.最高的小树高2
6、.8米，最低的小树高1.4米，那么从左向右数第 4棵树的高度是（） 米.A. 2.6B, 2.4C, 2.2D, 2.0【考点】等差数列【难度】【答案】C【解析】如右图，AB 2.8 1.4 1.4 （米），AC 1.4 7 3 0.6 （米）因此，第四高的小树为2.8 0.6 2.2（米）.3.春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁 4位同学有如下的对话:甲：“丙、丁之中至少有1 人捐了款”乙：“丁、甲之中至多有1 人捐了款”丙：“你们3 人中至少有2人捐了款”丁：“你们3 人中至多有2人捐了款”己知这 4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么
7、这4位同学是( )A.甲、乙B.丙、丁C.甲、丙D.乙、丁【考点】逻辑推理【难度】【答案】D【解析】因为恰有2 位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少2人捐款，所以丙没捐款；再据甲所说知丙、丁之中至少有1 人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；再据乙所说知丁、甲之中至多有1 人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；恰有2位同学捐了款，即恰有2位同学没捐款，现在甲、丙都没捐款，所以乙、丁都捐款了4六位同学数学考试的平均成缋是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99 分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是( )A 94B95C96D97【考点】最值问题【难
8、度】【答案】B【解析】 “至少”的含义是 : 第三位同学的得分若低于这个分数，不论其它同学得多少分，平均分都不会达到 92.5 分要想使第三位同学的得分尽可能的少，应使第二位同学的得分尽可能的多；同时，第四位、第五位的同学得分与第4 位同学的得分尽可能的接近由此，可先求出第三位、第四位、第五位同学的平均分，再对三位同学的分数进行调整即可解决问题由己知，第三、四、五三位同学的平均分是(92.5 6 99 76 98) 3 282 3 94 ( 分 )，故第三位同学的得分至少是94 1=95 5如图，BH 是直角梯形ABCD 的高， E 为梯形对角线AC 上一点；如果DEH 、 BEH 、 BCH
9、 的面积依次为56 、 50 、 40 ，那么 CEH 的面积是( )A 32B34C35D36【考点】几何【难度】【答案】B【解析】因为S DEH S AEHSWABCD2 S ABC S BCE S AEB 所以 S BCE S DEH 56；所以，S CEHS BEHS BCH S BCE 50 40 56346个由边长为1 的小正方形n n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是( )A 3B4C5D6【考点】最值问题【难度】【答案】B【解析】假设n 5 ,笫1行中至少有3个格子颜色相同，不妨设前 3格为黑色（
10、如图1）.在这3个黑格下方可以分割为 4个横着的3 1的长方形，若其中有一个中有2个黑格（如图2）,则 存在巷图中的粗线长方形 4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的3 1的长方形中，每个至多1个黑格.假设这4个横着的3 1的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图 3）,则一样存在图中的粗 线长方形4个角上的小正方形都是白格.而3 1的长方形中至多1个黑格的只有如图 4的这4种.如果这4种都存在的话（如图5）,则同样存在图中的粗线长方形 4个角上的小正方形都是白格.矛盾！所以n 5 .而图6给出了 n 4的一种构造.所以，正整数 n的最大值是4 .二、填空题（每小题10分，满分40分.
11、）7 .在每个格子中填入 16中的一个，使得每行、每列及每个 2 3长方形内（粗线框围成）数字不重复； 如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是.【考点】数阵图【难度】【答案】4123【解析】如下左图，因为 A 3为质数且A 4,所以A 2;因为“月”1为质数且“月”2、4,所以“月”6;从而C 5;因为“杯”4为质数且“杯”1 ,所以“杯”3 ;从而C 5 ;因为D 3为合数且D 2或6,所以D 6;从而“华”2；因为“相”3为质数且“相”2,所以“相”4；因为B 4为合数且D 1或5 ,所以B 5 ;从而“约”1 ;所以，相约华杯 4123（
12、如下中图）.实际上其它格子中的数也能唯一确定（如下右图）8 .整数n一共有10个约数，这些约数从小到大排列.笫 8个是-.那么整数的最大值是.3【考点】数论【难度】【答案】162【解析】n有10个约数，由于第8个是n ,而第10个必然是n ,所以第9个只能是-.所以n有质因子2 32和3.所以n可能是24 3或者34 2 .而最大是34 2 162 .9 .在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是_平方厘米，两块阴影部分的周长差是 厘米.（取3.14）【考点】几何基本概念【难度】【答案】15975 ;485.SE方形 ABCDS圆 AB【解析】
13、一J因为 ABE为等边三角形，所以EAB EBA 60 ,从而 DAECBE 30 ；阴影CDE的周长二弧CE弧DE CD 2300 12 2 300 100阴影ABE的周长MAE弧BE弧AB 2300 6 2 300300;2 350 ;所以，的周长差 350（100300) 250300 485 .S阴影ABES影CDES扇形ABDSW形ABCA地、B地、C地同时出发,10 . A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从匀速向D地行进.当甲在 C地追上乙时，甲的速度减少 40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；
14、如乙追上丙后再行 50米，三人同时到D地.已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D两地间的路程是米.【考点】行程问题【难度】【答案】125 ;1880 .【解析】因为三人同时到D地，所以甲、乙最后的速度和丙相同；所以丙速为60 （1 25%） 45（米/分）；甲减速一次后的速度为 45 （1 40%） 75（米/分），甲出发时的速度为 75 （1 40%） 125（米/分）.如下图，设甲在 E地追上丙，乙在 F地追上丙，因为甲、乙出发时的速度比为 125:6025:12 ,所以 AB: BC 25:12 ;设AC为25份，则BC为12份；因为乙、丙出发时的速度比为60: 45 4:3 ,所以BF :CF 4:3 ,从而 CF 为 12 （4 3） 3 36 份，AF 为 2536 61 份.因为甲减速一次后与丙的速度比为75: 455:3 ,而甲原速行 AC这25份时，相当于以75米/分行25 60% 15份； 所以 CE 15 （5 3） 3 22.
