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1、 . 高中学生学科素质训练高二数学同步测试9抛物线及几何性质共150分，考试用时120分钟一、选择题此题每题5分，共60分1抛物线的焦点坐标为 A B C D2过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Ax1,y1、Bx2,y2两点，如果x1+x2=6，那么|AB|的长是 A10B8C6D43抛物线y=x2上点A处的切线与直线的夹角为45，那么点A的坐标是 A1，1BC1，1D1，1或4设P是抛物线上的动点，点A的坐标为0，1，点M在直线PA上，且分所成的比为2：1，那么点M的轨迹方程是 A BC D5抛物线的焦点为F，定点P(4,2)，在抛物线上找一点M，使得最小，那么点M的坐标为 A B C
2、 D6抛物线上的点到直线的距离最短，那么该点的坐标为 A B C D7抛物线上的点到抛物线焦点的距离为3，那么|y0|= AB2C2D48过抛物线的焦点F作倾斜角是的直线，交抛物线于A,B两点，那么A8 B C D169过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点，假设P,Q在抛物线准线上的射影为， 那么等于 A B C D10抛物线上三点A,B,C,且A(1,0),当点B移动时，点C的横坐标的取值围是 A B C D11假设一个圆的圆心在抛物线y2=4x的焦点处，且此圆与直线x+y+1=0相切，那么这个圆的方程是 Ax2+y22x1=0Bx2+y2+2x+1=0Cx2+y22y+1=0Dx2+
3、y2+2y+1=012设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l的斜率的取值围是 A，B2，2C1，1D4，4二、填空题此题每题4分，共16分13假设抛物线的顶点是双曲线的中心，且准线与双曲线的左准线重合，那么此抛物线的方程为_.14设x1, x2R定义运算：x1x2=(x1+x2)2(x1x2)2,假设x0，常数m0，那么动点P(x, )的轨迹方程是15一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，那么这个三角形的面积为_.16AB是抛物线的一条焦点弦，假设，那么AB的中点到直线的距离为_.三、解答题本大题共6小题，共74分。解容许写出文
4、字说明，证明过程或演算步骤1712分.过点A(0，2)的直线与抛物线相交于两点P,Q，求以OP,OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程1812分一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线型隧道，拱口宽恰好是抛物线的正焦弦长，假设拱口宽为a米，求能使卡车通过的a的最小整数值yxOFABNDECl1912分如下图，设抛物线的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/x轴，证明直线AC经过原点O2012分、如图，过抛物线上一定点P，作两条直线分别交抛物线于A，BI求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离 II当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直
5、线AB的斜率是非零常数21(12分)如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.假设直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；假设直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值围.2214分如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. 1求点Q的坐标； 2当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.参考答案9一选择题(本大题共12小题, 每题5分, 共60分题号123456789101112答案CBDACCBDCAAC二填空题本大题有4小题, 每题4分,
6、 共16分1314. y2=2mx(y0) 15.16. 三、解答题本大题共6题，共74分17解 平行四边形 ABCD的对角线的交点为N，且由题意得直线PQ的方程为，其中k为不等于零的参数由，得，N是PQ的中点N点的坐标为，又N为OM的中点直线PQ和抛物线有两个不同的交点式中，解得：由，故点M的轨迹方程为18分析：先建立如下图的坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，卡车的轴线与y轴重合，问题转化为求出x0.8时的y值，需y3才能满足条件解：设抛物线方程为x22p(yp/2)a/2，0在抛物线上，a2/4p2，即pa/2从而抛物线方程为x2a(ya/4)，将0.8,y代入得卡车高3米，故需y3且
7、a0，得 a212a2.560，解得a12.21或a0.12舍去所以a应取13注：此题以应用问题描述为载体，利用代定系数法求抛物线方程，解题中利用点与坐标、曲线与方程的对应关系，融进参数的讨论，富有新意。19解：如图，连接AC，设AC与EF交于点N，过A作于D，那么AD/EF/BC，,由抛物线的定义：有N是线段EF的中点，即AC经过点O20解：本小题主要考察直线、抛物线等根本知识，考察运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.总分值14分.解：I当时，, 又抛物线的准线方程为. 由抛物线定义得，所求距离为.2设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为由，,相减得.故. 同理可得. 由PA，PB倾斜
8、角互补知,即, 所以, 故.设直线AB的斜率为由，相减得, 所以.将代入得，所以是非零常数.21解：此题主要考察直线、抛物线、不等式等根底知识，求轨迹方程的方法，解析几何的根本思想和综合解题能力.总分值12分.解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2，得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，x1=0不合题意，x10直线l的斜率直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点x0=，y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0
9、).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，那么x0=kl=，x1=，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，那么T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，那么.y=x2由消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，那么y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值围是2，+.方法二：=|b|=|b|.当b0时
10、，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值围是2，+.22解：(1) 解方程组 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2).令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24).点P到直线OQ的距离d=, ,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或44x8. 函数y=x2+8x32在区间4,8 上单调递增, 且当x=4时，|x2+8x32|=48 当x=8时，|x2+8x32|=96当x=8时,OPQ的面积取到最大值. /
