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1、高中课程复习专题#高中课程复习专题 数学集合与函数专题、集合相关概念1、集合中元素的特性 元素的确定性：组成集合的元素必须是确定的。 元素的互异性：集合中不得有重复的元素。 元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种顺序，是随意排列的。2、集合的表示方法 列举法：将集合中元素一一列出。 描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来。解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性。图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素。3、集中特殊数集的表示方法自然数集：N正整数集：N+整数集：Z有理数集：Q实数集：R空集：、集合间的基本关系一一子集与真子集1、自反性一一任何一个集合都是它本身的子集：A? A。2
2、、如果A? B且AMB,贝叽 A是B的真子集。3、传递性：如果 A? B, B? C，贝U A? Co4、如果 A? B 且 B? A，贝U A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有n个元素的集合，有 2n个子集，有2n-1个真子集。三、集合间的运算运算类型交集并集补集由所有属于集合A且属于集 定 合B的元素组成的集合称为 义 A和B的交集（AQB ）。即 An B=x I x A 且 x B由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合称为 A和B的并集（A U B）o 即 A U B=x I x A 或 x B设S是一个集合，A是S的一个子 集，由S中不属于A的
3、元素组成的 集合称为S中A的补集（CsA ）o 即 CsA = x I x S 且 x隹 A 性质AnA=AAn=oAn B=BQAAnB ? AAnB ? BA U A=AA U =AA U B=B U AA? A U BB? A UBCsAn CsB= Cs (AU B)CsAU CsB= Cs (AnB )A U CsA=SAnc sA=O四、函数的相关概念1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f: AB为从集合A到集合B的一个函数，写作 y=f(x) , x A，其中，x叫做自变
4、量，x的取值范围A叫做函数 的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B=f(x) I x A 叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路：若x处于分母位置，则分母 x不能为0。 偶次方根的被开方数不小于 0。对数式的真数必须大于 0。指数对数式的底，不得为 1，且必须大于0。指数为0时，底数不得为0。 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分 都有意义的x值组成的集合。 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。3、相同函数 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 定义域一致，对应法则一致。4、函数值域的求法观察法：适用于初等函数及一些
5、简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2 +b的形式。 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。5、函数图像的变换 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。伸缩变换：在x前加上系数。 对称变换：高中阶段不作要求。6、 映射：设 A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任 意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的 y与之对应，那么就称对应 f: AB为从集 合A到集合B的映射。 集合A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯
6、一的。 集合A中的不同元素，在集合 B中对应的象可以是同一个。不要求集合B中的每一个元素在集合 A中都有原象。7、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 各部分自变量和函数值的取值范围不同。分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。8、 复合函数：如果(u M ) , u=g(x) ( x A),则，y=fg(x)=F(x)( x A),称为 f、g 的复合函数。五、函数的性质1、函数的局部性质一一单调性设函数y=f(x)的定义域为|，如果对应定义域I内的某个区间 D内的任意两个变量 XI、 X2,当xi X2时，都有f(xi)f(X2)，那么y=f(x)在区间D
7、上是增函数，D是函数y=f(x)的单调 递增区间；当xif(x 2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数 y=f(x)的单调递减区间。函数区间单调性的判断思路i在给出区间内任取 XI、X2，贝y xi、X2 D，且xi0时，顶点为最小值，a0时的最大值或a1, n N+) 根式：如果xn=a,则x叫做a的n次方根，记作:/ .i负数没有偶次方根。ii 0的任何次方根都是 0。iii当n为奇数时分数指数幕(a0.负指数幕(a0, m、n N+, n1)=a，当n是偶数时I a Im、n N+, n1)0的正分数指数幕为 0,0的负指数幕没有意义。实数指数幕的运算性质ar ? as
8、= ar+s (a0, r、s R)(ar)s = ar?s(a0, r、s R)(ab)r = ar?br(a、b0, r R)2、对数的性质 对数：如果ax=N (a0 , a丰1,)那么，x叫做以a为底N的对数，记住：logaN=x，其中 a为底数，N为真数。i注意底数a的取值范围：a0且a。i常数对数：以10为底的对数lgN;自然对数：以e=2.71828 为底的对数lnN。 对数的运算性质：如果a0且a工)M0 , N0loga(M ?N)=log aM + log aNMloga =log aM - log aNlogaMn = nlog aM对数的换底公式(N R)logab =
9、 logcb / log cam(a0 且 a 工 1 c0 且 cl, b0)logab = 1/ log ba七、基本初等函数1、指数函数：函数 y=ax (a0且a 1)叫做指数函数a的取值a10a1时，最小值f(a)，最大值f(b) ； 0a0且a* 1)，都有f(1)=a。2、对数函数：函数 y=log ax(a0且a* 1)，叫做对数函数a的取值a10a1图像yj* /r , f1 I(0 cj 0时，幕函数图像过原点，且在(0, + )区间为增函数，a越大，图像坡度越大。a0时，幕函数在(0, + g)区间为减函数。当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴；当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。幕函数总图见下页。4、反函数：将原函数 y=f(x)的x和y互换即得其反函数 x=f-1 (y)。反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。幕函数总图
