论给定区间素数的分布规律公式田永胜 ( 内 蒙古 自治区 吉兰 泰 750333 ) 摘要：通过对自然数按照一定方向旋转排列，找到了自然数的等势区间 并集，并对每个区间的素数分布情况进行研究，给出了在给定区间内素数的 分布定理、公式及推论关 键 词 自然数； 螺旋排列； 给 定区间； 素数 分布；规律 ；引言 自然数沿数轴方向排列时，素数的分布没有规律可循；当把自然数按一 定的方向旋转排列时，素数的分布就变得有规律下面揭示它的分布规律1 自 然 数的排 列规 律首先，按逆时针方向把自然数进行排列，如下图：197 196195194193192191190189188187186185184 183198145144143142141140139138137136135134133182199146101100999897969594939291132181200147102656463626160595857901311802011481036637363534333231568913017920214910467381716151413305588129178203150105683918543122954871281772041511066940196121128538612717620515210770412078910275285126175206153108714221222324252651841251742071541097243444546474849508312417320815511073747576777879808182123172209156111112113114115116117118119120121122171210157158159160161162163164165166167168169170211212213214215216217218219220221222223224 225自然数螺旋排列图从上图可以看出，自然数集合N+也可以由一连串连续区间的并集组成，[1] U( 1, 9] U( 9, 25] U( 25 , 49] U( 49, 81] U( 81, 121] U( 121 ,169］ U U （（ 2x-3 ） 2, （ 2x-1 ） 2］…。
并且，每个区间的最大数都是奇数 （ 2x-1 ） 的平 方2 素数分布定理和公式首先， 来研究每一区间数字的素数分布情况：第一区间只有自然数1， 素数个数为0第二区间为（1， 9］，有8个数字，其中素数有 4个，所占比例为 4/8=0.5 第三区间为（10， 25］， 有16个数字， 其中素数有5个， 所占比例为 5/16=0.3125 ；第四区间为（25，49］，有24个数字，其中素数有 6个，所占比例为 6/24=0. 25；以此类推其次，再来看每一个区间的素数分布与区间内的数有什么内在规律 1在 中心， 不是素数；在区间（1， 9］有8个自然数， 最大数是9， 求9的自然 对数的倒数，1/ln9〜0.455 ,与该区间实际素数所占比例接近；乘以总数8, 值约等于 3.64， 取整数后为 4， 与该区间实际素数个数相同 在区间（10， 25 ］有16个自然数，最大数是25 ,求25的自然对数的倒数，1/ln25〜0.311 , 与区间内实际素数所占比例0.3125 很接近，乘以总数16，值约等于4.97，取 整数后为5，与该区间实际素数个数相同在区间（25， 49］有 24个自然数 最大数是49，求49的自然对数的倒数，1/ln49〜0.2569，与区间内实际素 数所占比例0. 25 很接近，乘以总数24，值约等于6.16，取整数后为6，与该 区间实际素数个数相同。
以此类推， 如素数分布规律表所示圈数最大数自然数个数实际素数个数素数所占比例素数分布密度理论素数个数 〔四舍五入)X（2x-l）"28x-8□ 3K（x）/（8x-S）l/ln（2x-l）"2（8x-8）/ln（2x-l）"21100029840. 50000. 455143251650. 31250. 310754492460. 25000. 256965813270. 21880. 22767612140呂0. 20000. 2085呂71694890.18750.19499822556100.17860.184610928964130. 20310.1765111036172110.15280.1698121144180130.16250.1642131252988140.15910.1595141362596150.15630.15531514729104150.14420.15171615841112170.15180.14851716961120160.13330.145617171089128190.14840.143018181225136190.13970.140619191369144190.13190.138520201521152210.13820.136521211681160230.14380.134622221849168200.11900.132922232025176230.13070.131323242209184230.12500.129924252401192280.14580.128525262601200210.10500.127225272809208310.14900.125926283025216250.11570.124827293249224230.10270.123728303481232300.12930.122628素数分布规律表由上表可以看出，在第 2到第 8区间，实际素数个数与理论素数个数相等，其他的区间实际素数个数在理论素数个数左右波动，每个区间实际素数 的所占比例和理论素数分布密度非常接近。
下面，给出素数分布定理的一般形式定理设X为自然数，在给定区间((2x-3 ) 2, ( 2x-1 ) 2 ］内，素数的分布密度公式为1/ln （2x-1 ） A2给定区间内自然数的个数为(2x-1 )人2- ( 2x-3 ) A2=8x-8用n (x)表示给定区间内的素数个数，则给定区间素数个数与自然数的个 数之间存在如下线性关系n (x)=( 8x-8)/ ln ( 2x-1 )人2若用Sn表示n圈内素数的总和，则Sn = £ (8x - 8)/ln(2x - 1)A2x=1推论 1 在区间((2x-3)2，( 2x-1)2］内，只有有限个素数，当x趋向无穷大时，素数也趋向无穷大，即iim (8x 一 8)/ln(2x 一 1)A2 = gX Tg接着，再来看每一个区间的孪生素数的分布情况：在区间(1， 9］内有 2 3和 5、7两对孪生素数， 在区间(9， 25］内有 11、13 和 17、19 两对孪生 素数，在区间(25， 49］内有 29、31 和 41、43 两对孪生素数，在区间(49 81］内 有 59、61 和 71、73 两对孪生素数，在区间( 81， 121］内有 101 、103 和 107、109 两对孪生素数， 在区间(121， 169］内有 137、139 和 149 、 151 两对孪生素数， 在区间(169， 225］内有 179、181 和 191 、 193 两对孪生素 数，每一区间内被小于或等于(2x-1 )的素数约去后，都有两对孪生素数。
因此， 得出推论在每一个区间至少有两对孪生素数推论2在区间((2x-3 ) 2，( 2x-1 ) 2］内至少有两对孪生素数当x趋 向无穷时， 孪生素数也趋向无穷后记突然发现素数是有限的，当对素数的分布密度1/ln ( 2x-1 )人2求极限时， 即x -8时，伽 (2x-1 )人2=0 ,也就是说，无穷区间的素数概率为零，素数 也为零，(8x-8)/ ln ( 2x-1 )人2=0，因此，推论1的极限应该是0，而不是8, 所以得出 1 到8区间的素数的总和是有限的又一个数学悖论2015-9-1 21:39想了一个月， 突然想到， 如果引入无穷小的概念， 就可以解决这个问题因为1位于无穷个区间的中心， 数字按照等角螺旋进行排列， 无穷大的 倒数自然就是无穷小了如果我们用符号©表示无穷小，那么1/ln(2x-1)^2 的极限值就等于02015-10-08 21:50给定区间素数的分布问题，其实就是素数的筛选问题，我们不可能一下子解决所有的素 数的筛选问题，只能分区间来进行，这样问题就好分析了自然数集可以表示为一系列连续 区间的并集，分别对这些连续区间的素数分布情况进行研究，就会发现一些规律和公式。
对于给定区间((2x-3)人2, (2x-1)人2],素数的多少可以用小于或等于2x+1的素数去约， 剩余的就是素数，用素数筛选后素数所占的比例是多少呢？ 设给定区间数的比例为1，被2除后余1-1/2=1/2， 被3除后余1/2-1/2*1/3=1/3，被 5 除后余 1/3-1/3x1/5=4/15,被 7 除后余 4/15-4/15x1/7=24/105；被 11 除后余 24/105-24/105x1/11=240/1155；被 13 除后余 240/1155-240/1155x1/13=2880/15015；被 17 除后余 2880/15015-2880/15015x1/17=46080/255255；被 19 除后余 46080/255255-46080/255255x1/19=829440/4849845；被。