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1、 北京大学2005 数学专业研究生 数学分析1. 设，试求和.解: 当然此上极限可以令.此下极限当然可以令2. (1)设在开区间可微，且在有界。证明在一致连续.证明:由存在.这显然就是(2) 设在开区间可微且一致连续，试问在是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明）证明:否定回答.闭区间上连续函数一致连续.所以显然此而3设. (1)求的麦克劳林展开式。(2)求。解: 这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有 . 又由于 比较系数有：，接下来，若 中 ，此时令 有。 同理可得：， 。综合得： 4试作出定义在中的一个函数，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）的
2、两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续 解： 。显然这个函数在 的时候，有偏导数存在 ，而对于的时候，有 ，此式在原点也成立。 对于任意方向极限，有。显然沿任意方向趋于原点。 此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向趋向原点。不妨设有不同的极限 。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。5计算.其中是球面与平面的交线。 解：首先，曲线是球面与平面的交线。因为平面过原点，球面中心为原点。 所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有 。 因此有 =。6设函数列满足下列条件：（1），在连续且有（） （2）点点收敛于上的连续函数证明：在上一致收敛于 证法1：首先
3、，因为对任意。且有，所以，对于任意，有。 又因为在点连续。所以可以找到，当 时。有，以及 同时成立。因此，当， 时，有 。 如此，令，所以有开区间族 覆盖了区间。 而在闭区间上连续。由Heine-Borel 定理，从开区间族中可以选出有限个， 使 。由的选法。可由相应与，当，且时，有。 取，当时，且，有 成立。所以在上一致收敛于。 证毕。 证法2：反证法.设存在某，对于任意，有一，使得又有界，由Bolzano-Weierstrass定理，所以其必存在收敛子列收敛于中某值因为对任意。且有，所以，当时，有设某，由与连续性存在一，当时有同时成立显然，又因为所以存在值， 当时， 成立最后，当时，有这与假设矛盾所以在上，是一致收敛于证毕5
