第六章 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系教学重点：中值定理教学难点：定理的证明教学难点： 系统讲解法一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。
因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2. 可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二） 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. 2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有(证) 但是, 不存在时, 却未必有 不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且 ( 证 )Th ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 . 若 为介于与 之间的任一实数, 则 设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3. Cauchy中值定理: Th 3 设函数 和 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 和 在内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 使 . 证 分析引出辅助函数 . 验证 在 上满足Rolle定理的条件, 必有 , 因为否则就有 .这与条件“ 和 在 内不同时为零”矛盾. Cauchy中值定理的几何意义. （三）中值定理的简单应用: 1. 证明中值点的存在性 例1 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得 . 证 在Cauchy中值定理中取 . 例2 设函数在区间上连续,在内可导,且有 .试证明: . 2. 证明恒等式: 原理. 例3 证明: 对 , 有 .例4 设函数 和 可导且 又 则.证明 . 例5 设对 , 有 , 其中 是正常数. 则函数 是常值函数. (证明 ). 3. 证明不等式: 例6 证明不等式: 时, .例7 证明不等式: 对 ，有 . 4. 证明方程根的存在性: 证明方程 在 内有实根. 例8 证明方程 在 内有实根. § 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）教学目的：1. 掌握讨论函数单调性方法；2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
教学要求：1. 熟练掌握L’Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限；2. 深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式教学重点：利用函数的单调性，L’Hospital法则教学难点：L’Hospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；教学方法：问题教学法，结合练习 一. 型: Th 1 ( Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 例2 .例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 . ( Hospital法则失效的例 ) 二. 型: Th 2 ( Hospital法则 ) ( 证略 ) 例5 .例6 . 註: 关于 当 时的阶. 例7 . ( Hospital法则失效的例 ) 三. 其他待定型: .前四个是幂指型的. 例8 例9 .例10 . 例11 . 例12 . 例13 . 例14 设且求解 . § 3 Taylor公式（2学时） 教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。
教学要求：1. 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；2. 掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用3. 会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限教学重点：Taylor公式教学难点：Taylor定理的证明及应用教学方法：系统讲授法一. 问题和任务: 用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 1685—1731 )多项式: 分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式 定义 Taylor 多项式 及Maclaurin多项式 例1 求函数在点的Taylor多项式. [1]P174.( 留作阅读 ) 三. Taylor公式和误差估计: 称为余项.称给出的定量或定性描述的式 为函数的Taylor公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor中值定理: Th 1 设函数 满足条件: ⅰ> 在闭区间 上有直到阶连续导数; ⅱ> 在开区间内有阶导数.则对使 . 证 [1]P175—176. 称这种形式的余项 为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式. Lagrange型余项还可写为 . 时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为 . 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano型余项: Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数,且存在,则,. 证 设 , . 应用 Hospital法则 次,并注意到 存在, 就有 = . 称 为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为 . 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ). 四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开: 1. 直接展开: 例2 求 的Maclaurin公式.解 . 例3 求 的Maclaurin公式.解 , .例4 求函数 的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 . .例5 把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . ( [1]P179 E5, 留为阅读. ) 2.间接展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式. 例6 把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 , . 例7 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 , 注意, . 例8 先把函数 展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 . 利用得到的展开式, 把函数 在点 展开成具Peano型余项的Taylor公式.解 . = + 例9 把函数 展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，并与 的相应展开式进行比较. 解 ; .而 . 五.Taylor公式应用举例: 1. 证明 是无理数: 例10 证明 是无理数.证 把 展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有 .反设 是有理数, 即 和 为整数), 就有 整数 + .对 也是整数. 于是, 整数 = 整数―整数 = 整数.但由因而当时，不可能是整数. 矛盾.2. 计算函数的近似值: 例11 求 精确到 的近似值.解 .注意到 有. 为使 ,只要取 . 现取 , 即得数 的精确到 的近似值为 . 3.利用Taylor公式求极限: 原理: 例12 求极限 .解 , ; .4.证明不等式： 原理. 例13 证明: 时, 有不等式 . [3]P130 E33. §4 函数的极值与最大（小）值 （2学时） 教学目的：会求函数的极值和最值。
教学要求：1. 会求函数的极值与最值；2. 弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方。