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1、2011/4/192011/4/19奔阻单洁及钦件应用山东建筑大学201110材料非线性问題11几何非线性问题12热传导问题13有限元Fortran程序设计14 ANSYS有限元软件期末考试2011/4/192011/4/191有限元方法概述2数理力学基础3简单杆系结构有限元法4弹性力学平面有限元方法5等参元和高斯积分6空间问题有限元法7梁结构单元8板壳问题有限元法9结构动力问题有限元法等参数单元 5.1概述 5.2等参单元定义的给出 5.3四节点四边形等參数单元 5.4平面八节点等参数单元 5.5六面体尊参单元5.6数值积分2011/4/192011/4/195.5六面体等参单元#2011/
2、4/19#2011/4/19多数弹性力学问晦要按照三维空间问题来求解.三维弹 性力学问题的有限元法的基本步骤与平面问题的步骤一样在 分析三堆问麵时，所选择的单元主鼻为四体单元和六面体单 元“毎个单元节点上定义有三个位移分*5 V.三峨问师有限元法有以下两个主鼻难点：(1) 亓J无法采用人工方法完成复杂三维实体的单元划分.褊鼻有功能0大的单元划分程序，从CAD橫型揍 生成离敢的单元网格现左的有限元软件可以读入IGES. STL 等格式的SQ影交换文件六面体元的计算精度比较高. 对于備实体无法实现六面体草元的自动划分.采用四面体单元能够实现单元自动划分.但是四面体单元的计算精度比 较低。 ANSY
3、S提供的Solid45单元就是六面体八节点等 参单元，每个节点有代表心八z三个方向位 移的三个自由度(DOF, Degree of Freedom), 可以退化为五面体棱柱和四面体单元，单元局 部坐标为r、s. tf六面体八结点等参单元的 基本单元如图所示.#2011/4/19#2011/4/19L-s|v-S (2)计算规模大-SL-E N1从三维问题的单元数目大，节点自由度多，导致 计算规模大，对计算机硬件的要求很高。为缩 短计算时间，有许多问题需要采用巨型计算机, 如CRAY.或并行计算机。常用的三单元有六体八节点粉单元等参单元的位移 模式和坐标变化式采用相同的形函数，如上#2011/4
4、/19EUm*ntSol id95的基本单元二十结点基本单元Sol id45的基本单元八结点基本单元六面体八节点等釜单元的基本单元如图所示，其形函数 为.与六面体八结点等参单元相比，六面体二十结点等参单 元能更好地适应不规则的形状，计算误差比较小，基本 单元如图所示，其形函数为#2011/4/19M = |(1 + 7+“)( s I .8)中，为纟古点的局部坐标#2011/4/19#2011/4/19ANSYS提供的Sol id95单元是六面体二十节点等参单元， 每个节点有代表从y、z三个方向位移的三个自由度，可 以退化为五面体棱柱.五面体金字塔形和四面体单元。Sol id95单元的基本单元
5、如图所示。ANSYSffl 供的 Solid95 单元N, =(l-/72Xl+Xl+) (r =104248.20)N. =1-U #2011/4/J92011/4/J9按照上节介绍的等参单元分析的基本步骤可以得到 三维单元的单元刚度矩阵。雅可比矩阵为，比3?*勢*6576而 6-英 at-舛冬奶al-%形函数对整体坐标的偏微分可以用雅可比矩阵表 示为形函数对局部坐标的偏微分，=U雅可比矩阵计算公式只有在难可比矩阵可逆 的情况下.可以求解岀 呢 Nylyl几 吗仏心亦一站-%刎一nzznsEnzE%!:%些蛊莎券 处一黑一韶一兀 8=2011/4/J9利用雅可比矩阵的行列式，将整体坐标系下的
6、积 分转换为在局部坐标系下的积分。在整体坐标系中的 体积微元为，嚴后，用高斯积分计算出单元刚度矩阵。同样， 用上节中类似的公式就可以在局部坐标下完成单元的 载荷移置。体力移置的公式为2011/4/J9(IV = dx x dz) = dxdydzw = “/刖川如“2011/4/J9微矢虽在局部坐标系中表示为,在gh的面上受到面力作用，面力移置的公式为:w -1 “口戸叩L.奶妬其中在点4 0. no. go集中力移苣的公式为:町讪羸川其中强为局部坐标系中E Tlg方向上的单位向量.5.6数值积分等参单元刚度矩阵的每个元素都是局部 坐标的函数，等参数变换后具有非常复 杂的形式，在有限元程序中不
7、用解析的 办法来计算局部坐标系中的积分，而采 用数值积分方法。通常采用高斯积分方法计算单元刚度矩 阵中的元素及等效节点载荷列阵的元素。K卜门：頤6別I丿1心52011/4/J92011/4/J9基hx间内/!个貉r“,a=h2,.，刀人格笔项式#upu为srnm插（ft多项无2011/4/J92011/4/J92011/4/J9其中f 丿 *n-IfifTlMgriuigelA tfi 旳 C(一个需姿粉文衣力可“通过八金住遇的缶斂仅驰加权侦令余热序基本思路是：左单元上选择某些特征点（积分点），求 出峻朽屈数存这些积分点二的取伯.然壬用一些&肩菽 乘这些函数值，最后求和就可得到近似积分值。有限
8、元 分析中.最常用的高斯数值积分法.则川扯X近似代ft/UxW分式变为I=r w= *）武=r s【me 川 专仍*）/专”至少具有,7次 代数稱度2011/4/J92011/4/J9如果n个结点的插值型求唸 Newton-cotes求积公式具有n“次代数精度 几个常用求积公式等距分布.则前面 切防艮0x02求积公式。梯形公式.n-1Cf(x)di * 气勺/Xa” fb)数值积分的基本思想对于一个定积分“（7（4%构造一个多项式砍臥佚11在区间内*1、点（“=门刖上败。切0相同.即0心丿）则用败0来近似代酚（勺,枳分式变为问息是:如何构造姜项式败0使其对f（0自处好的逼近？2011/4/J9
9、#2011/4/J9写成统一的形式EM为求识系数豉称为积分系数牛顿-柯斯特积分公式粕度Gauss-Legendre 求积公式 个播值结点非暮距分布结点初积分权系数可以査表nmggn毂牙点n农分收糸皴人10.00000 ooooo 000002 000 OOOOO OOOOO2 0. 57755 02691 996261 oooo ooooo oocoo3i 0. rfM 66692 4148J0.00000 ooooo ooooo0 SS555 55555 555560 S8 KMCfli MWHX40.36113 63113 MO53 0. M998 10455 84S860.547X5 4
10、S451 374540.65214 51S 37454高斯求积法妁呉不事先叔定税分点的位而是允许这一些点位于能得!度最好的 枳分值之处.在给Jfc枳分点败目的条件下.这样做可以提禹解构墩的求枳 公或的楮度.i-1如黒现定可以取0个分点.我幻必须求出2“个未知Ai匚他）銘文HjgAi则右边四个n如見左边的左1代入釈分,也只含有四个M.则它们Z旬的关KAtlft完全确定Z = 2c0 + 2c2/3=Hg）七 HJ3 =叭+*； +%丿+5+ 心 +（ /；）勺任童给定.以上两式祁要相等.因此对虫的系敷应満足以下关1L#2011/4/J9#2011/4/J9高斯积分方法预先定义了,求岀被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分C髙斯积分方法具有最高的计算精度采用n个 积分点的高斯积分可以达到阶的精度，也 就是说，如果被积分的函数是次多项式. 用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分 结果。（2讪如奧际超过三次多项式，则高斯积分得岀的是梢碗似 超过三次多项式，高斯积分得到的只是近似值【例】试用2点高斯积分计算I二【解】说为积極僦（-L 1）厂所以 无需积分限规格化：2点高斯积分表达式(2-r2/r- HiAqj+Hj/C/
