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1、高阶方程的降阶技巧目录一. 高阶方程的引入及定义1二. 几类常见的可降阶的高阶微分方程2（一） y = / （ X ）型的微分方程2（二）y = /（X，yf）型的微分方程3（三）y = f （ y , y ）型的微分方程4（四）二阶方程的幕级数解5三. 其他情况的高阶微分方程7四. 总结12参考文献12高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程 的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。对于不同高阶微分方程给出了相应的 降阶方法。关键词：线性微分方程，降阶，非零特解一高阶方程的引入及定义所谓阶，就是导数(或微分)的最高阶数.函数未知，但知道变量与函数
2、的代 数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知 道自变量，未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式，得到的便是微分方 程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方 程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程.而高阶微分方 程，即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理 问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程 来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特 别地，对于二阶(变系数)齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则 可利用降阶法求得与
3、它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐 次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。 因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。一些相关定义如果方程(1)dydnyF 3 y云一云)=的左端为y及空，,的一次有理整式。则称(1)为n阶线性微分方程.不是 dxdxn线性方程的方程称为非线性微分方程.如果函数y =中(x)代入方程(1)后，能使它变为恒等式.则称函数y =中(x)为方程(1)的解.我们把含有n个独立的任意常数c 1, c2.c的解y =甲(c。)称为n阶方程(1)的通解.所谓n阶微分方程(1)的初值条件是指如下的n个条件：当x
4、 = x0时，dydn-i yy = y 0, dx = y，- = y 0n-1)这里x0, y0, y0i).y0n-i)是给定的n+1个常数，初值条件有时写为dy(x )dn-iy(x )y (x ) = y ,= y(1),= y(n-1)00 dx 0dxn-10求微分方程满足定解条件的解.二.几类常见的可降阶的高阶微分方程二阶微分方程的求解：（一） y = /M）型的微分方程特点:等式右端不含y, y，仅是x的函数.解法：将矿作为新的未知函数，然后对原方程降阶，令z = yn y = z，则有 z = f (x)，方程两边同时积分得z = j f (x) dx + c1再积分得y
5、= j j f (x) dx dx + c x + c同理对于 y (n) = f (x)，令 z = y(n-1) n z = f (x),积分得: y (n -1) = j f (x) dx + c1则原方程变形为n-1阶，对其继续积分得y（n一2） = j j f （x）dx + c dx + c解三阶方程：y = sin x - cos x则方程变为n-2阶,如此连续积分n次即得原方程的含有n个任意常数的通解.例1解:等式两端同时积分y = j y dx = j (sin x - cos x)dx=一 cos x 一 sin x + c1再积分y=j ydx=j (-cosx-sinx
6、+C)dx=-sin x + cos x + c x + c再积分y = j yrdx = j (- sin x + cosx + c x + c )dx. c _ .=cos x + sin x + 2 x2 + c x + c 这就是所给方程的通解.(二)y= f(x, y)型的微分方程特点:右端不含y.解法:降阶.令y = p n y = p代入原方程得：斗=f (x,p)(2)dx若f (x, p)为如下一些一些类型，可分别求得(2)降阶式的解.i. 夜 + p(x)y = q(x)通解：y = c + j q (x)e jp(x)dxdx e-jp(x)dxdxii + p(x)y
7、= q(x)yn, (n 丰 0,1)通解：dxy 1 -n = c + j (1 一 n)q (x)e j(1-n)p(x)dx dx e(1-n)p(x)dx(方法两边同时除以yn，将y-n拿到dy中，即 dy 1-n ) iii.小=g f y dx k x J关系，再将u代回，即得答案.ux，则 丁 dxy. = x + u，即求出u与x的 dxiv.dy _ a x + b y + cdx a x + b y + c2ya若丰a2土，则令a1x+by+c1 a x + b y + c(a, P)dy _ a x + b ydx a x + b y已上求得的解为p =9 (x,c1).
8、回代y = p ,得dL =p (x,c1)变量可分离的一阶方程，积再令分得y = j 9 (x, c ) dx + c12例2y I = 1, y I = 3x = 0x = 0解： 令 =P，则y =虹，则方程变为: dx(1 + x2) f = 2xp ,dx ，dp2 x ,=dxp 1 + x 2y = p = c 1 (1 + x 2 )因为 y I = 3 , a c 1 = 3 ,则y = x3 + 3x + c2，因为 y Ix=0 = 1 c2 = 1，所以所求特解为：y = x3+ 3x + 1.(三)y = f (y, y)型的微分方程特点:右端不含x.解法:降阶.令y
9、 =空=p n y = dp .由复合函数求导法则得: dxdx dpdp dydpdxdydxdy代入原方程得:p = f (y, p)dy这是一个关于y,p的一阶方程，若以求得它的通解为:y = p =(y, c1)变量可分离的一阶方程，积分得:j1 中(y , c1)dy = x + c2即原方程得通解.例 3 求 yy= 2( y )2 y q 满足 y (0) = 1, y (0) = 2 的特解解： 令y = p，则y = p ，则方程变为: dyyp 牛=2( p 2 - p)dyj dr= 2( p -1)(. p =寿0)分离变量得：1 dp = A dy，等式两端同时积分化
10、简得: p - 1 yp-1 =罕2,即y=七y2 +1,把y = 1时，y = 2代入上式得匕=1,dydx则方程化为分离变量得:d = dxy 2 + 1积分得:arctan y = x + c 2 n y = tan( x + c 2)兀将y(0) = 1代入解得c2 =-,故原方程的特解为:y = tan(四)二阶线性方程的幂级数解对带初值条件的二阶齐次线性方程d-y + p(x)空 + q(x)y = 0,y(0) = y ,y(0) = y这里 x = 0 ,否则可引进新变量 dx2 r dx000t = x-x0化为,=0.有如下定理i.定理 若方程中系数p(x), q(x)或x
11、p(x), x2q(x)能展成收敛区间为|x| R的尿级 a x a+nn=0数,则二阶齐次线性方程有收敛区间为|x| i k ! r (n + k + 1) I 2 )k = 0k = 0(-1) kk ! r (- n + k + 1) k 2 )n阶贝塞尔方程有通解y = cJ (x) + cJ (x)，其中c , c为任意常数.1 n2 - n1 2Jn(x)(或J n(x)是由贝塞尔方程所定义的特殊函数，成为(或-n)阶(第一 类)贝塞尔函数.1r(s)的定义：当 s 0 时 r(s) = j+ro xs-1e-xdx ;当 s 砂希J=p(y) = y,.，七一1)代入原方程得到新
12、函数p(y)的n-1阶方程，求得其解为: dy dx原方程通解为:dy(三)齐次方程特点：F(x,ty,ty,., ty(n) = (x, y, y,., y(n)解法：可通过变换y = e j zdx将其降阶,得新未知函数z(x). y - zejzdx, y = (zf + z2)ejzdx,y (n)-(z, z ,., z (n-1)ejzdx代入原方程并消去ekj汕得新函数z(x)的n-1阶方程f ( x , z , z ,., z (n -1) ) - 0例4求方程x2yy= (y - xy )2的通解.解： 设y - e j zdx ,代入原方程，得z + % -，解得其通解为z - 1 + 匕x x 2 ,原方程得通解为y - e(x+ 2)故-c xe -?2注：解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：一般情况，边解边定常数计算简便;遇到开平方时，要根据题意确定正负号。三其他情况的高阶微分方程N阶微分方程一般地可写为F (t, X , X ,., X (n ) ) = 0下面讨论几类特殊方程的降阶问题。i方程不显含未知函数x,或更一般地，设方程不含X，X，.，X(i)，即方程呈 形状F(t, x(k), x(k+i),., x(n) = 0,(1 V k n)可降低k阶.令V = x(k),方程降为y的n-k阶方程F(t, j,矿，,y(nk) = 0
