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1、图形的相似全章复习与巩固知识讲解【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对 应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理
2、】要点一、相似图形及比例线段1相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比
3、例线段要点诠释：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）4.平行线分线段成比例： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似
4、.判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角
5、相等，对应边的比相等（2）相似多边形的周长比等于相似比（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方要点三、位似1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似
6、中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.要点四、黄金分割1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割2.黄金三角形：顶角为36的等腰三角形，它的底角为72，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割要点五、射影定理在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，ABCACDCBD（“角角”）； ； （射影定理）； （等积）【典型例题】类型一、相似三角形1. 已知：
7、如图，ABC=CDB=90，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】AC=a，BC=b， AB=，当ABCBDC时， ,即.当ABCCDB时， ，即.【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.2. 如图，在ABC中，C90，将ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MNAB，MC6，NC，则四边形MABN的面积是（ ）.A B C D【答案】C；【解析】由MC6，NC，C90得SCMN=，再由翻折前后CMNDMN得对应高相等；由MNAB得CMNCAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得SCMN
8、：S四边形MABN=1:3，故选C.【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.举一反三【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：COMCBA；（2）求线段OM的长度.【答案】（1）证明： A与C关于直线MN对称，ACMN，COM=90，在矩形ABCD中，B=90，COM=B ，又ACB=ACB，COMCBA ，（2）在RtCBA中，AB=6，BC=8，AC=10
9、 ，OC=5，COMCBA， ，OM=. 类型二、相似三角形的综合应用3. 已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE（1）求证：DEBE；（2）如果OECD，求证：BDCE=CDDE【答案与解析】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，BO=BD，OE=OB，OE=BD，BED=90，DEBE；（2）OECDCEO+DCE=CDE+DCE=90，CEO=CDE，OB=OE，DBE=CDE，BED=BED，BDEDCE，BDCE=CDDE【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的
10、关键4. 已知ABC是等腰直角三角形，A = 90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图（1）若BD是AC的中线，求的值；（2）若BD是ABC的角平分线，求的值；（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由EDCABEDCAB 【答案与解析】解： 设AB = AC = 1，CD = x，则0x1，BC =，AD = 1x在RtABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1x）2 = x22x + 2由已知可得 RtABDRtECD， ， 即 ，从而 ，
11、，0x1，（1）若BD是AC的中线，则CD = AD = x =，得 （2）若BD是ABC的角平分线，则 ，得 ，解得 ， （3）.若，则有 3x210x + 6 = 0，解得 （0，1）， ，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题举一反三：【变式】如图，在RtABC中，C=90，ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处（1）求证：BDEBAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度【答案与解析】证明：（
12、1）C=90，ACD沿AD折叠，C=AED=90，DEB=C=90，B=B，BDEBAC；（2）由勾股定理得，AB=10由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，AED=C=90BE=ABAE=106=4，在RtBDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8CD）2，解得：CD=3，在RtACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=， .5. 如图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，MBC是等边三角形（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且MPQ=60保持不
13、变设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式【答案与解析】（1）是等边三角形是中点， 梯形是等腰梯形（2）在等边中，又， ， ， ， .【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.举一反三【变式】如图，在ABC中，AB=AC=1，点D,E在直线BC上运动设BD=x, CE=y. (l）如果BAC=30，DAE=105，试确定y与x之间的函数关系式；(2）如果BAC=,DAE=,当, 满足怎样的关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由【答案】解：(l）在ABC中，AB=AC =1，BAC=300,ABCACB=750,ABDACE=1050, DAE=1050，DAB+CAE=105-30=750,又DAB+ADB=ABC=750,CAEADB，ADBEAC.，即.(2）当、满足关系式时，函数关系式成立. 理由如下：要使，即成立，须且只须ADBEAC. 由于ABDECA，故只须ADBEAC. 又ADB+BAD=ABC=, EAC+BAD=-, 所以只=-，须即. 类型三、黄金分割6. 如图，用纸折出黄金分割点：
