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1、弹簧-质量-阻尼系统1研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技 也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量 的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。2弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用
2、微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示，A_N/IIK图2.1弹簧-质量-阻尼系统简图#其中mi，m2表示小车的质量，Ci表示缓冲器的粘滞摩擦系数，&表示弹簧的弹性系数，Fi(t)表示小车所受的外力，是系统的输入即Ui (t)=Fi(t) ,Xi(t)表示小车的位移,是系统的输出，即 Y(t)=Xi (t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中 m1 =1kg，
3、 m2 =2kg， k1= k3=100N/cm， k2 =300N/cm， c1= C3 =3N * s/cm， c2=6Ns/cm。由图2.1，根据牛顿第二定律，建立系统的动力学模型如下： 对m1有:(2-1)叫爲 + (ci +-勺召 + (kj + kJ衍 一 k2x2 = Fx(t)对m2有:叫$ + (c2 + 3)x,-詁 + (k2 + kjx, ktt = F2(t)(2-2)叫可 + (2.k2-代3卄2）12(J)*4 一01m2m2m2m2Lm2000010Xi(2-5)1y =_0*20X3mi =1,m2 =2,K =k3 =100,k2 =300li = I3 =
4、32 =6-0010代入数据得：A =000140030096-150-2003-4.5*4则系统的状态空间表达式为o-o00B =10100.5o 11 o-ml-c0 10011X +00u610-4.5100.50 010 00X-卜400300915-200310 0 0 y = Ix0 10 04化为对角标准型当系统矩阵A有n个不相等的特征根z f =1,2,3.）时，相应的有n个不相等的特征向量m2m3 .m40_根据矩阵论A M如-0m（i =1,2,3.），所以有矩阵A的特征矩阵M - lmi线性变换得:T = M = z =Tx= x = Mz+ BlUA=MiAM=diag
5、fiAltA2iBl=BCT=CMD=D可以使用matlab进行对角标准型的运算，matlab作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab简化计算。（1）求特征值与特征向量A=0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5B=0 0;0 0;1 0;0 0.5C=1 0 0 0;0 1 0 0P,J=eig(A)求得结果：p =0.0007 - 0.0402i-0.0171 + 0.0157i0.8650-0.3442 - 0.3621i0.0007 + 0.0402
6、i-0.0171 - 0.0157i0.8650-0.3442 + 0.3621i0.0401 - 0.0698i0.0176 - 0.0792i0.6682 + 0.2084i0.70500.0401 + 0.0698i0.0176 + 0.0792i0.6682 - 0.2084i0.70500.3667 +21.5183i00000.3667 -21.5183i00001.8833 + 8.4864i00001.8833 - 8.4864i(2) P矩阵求逆PN=i nv(P)求得结果：PN =3.4167 + 9.7803i3.4167 - 9.7803i-3.3554 + 3.422
7、4i-3.3554 - 3.4224i-2.1017 - 9.2399i-2.1017 + 9.2399i3.7199 + 3.2032i3.7199 - 3.2032i0.3466 - 0.2323i0.3466 + 0.2323i0.2886 - 0.0353i0.2886 + 0.0353i-0.4703 - 0.1054i-0.4703 + 0.1054i0.5337 - 0.2409i0.5337 + 0.2409i(3)带入公式B = PNB C = CP解得对角标准型为：-0.3667 +21.5183i000 1IS.3466-0.2323i-0.2352- 0.0527i00
8、.3667 +21.5183i000.3466+ 0.2323i-0.2352 +0.0527ix =x +u001.8833+8.4864i00.2886-0.0353i0.2669-0.1205i0001.8833-8.4864iI0.2886+ 0.0353i0.2669+ 0.1205i0.0401 +0.0698i0.0176+0.0792J_ 0.0007- 0.0402i0.0007 + 0.0402i 0.0401- 0.0698iy |t-0.0171 +0.0157i -0.0171-0.0157i 0.0176-0.0792i5求状态空间表达式的解(1)求状态转移矩阵At
9、e=T其中，T为特征向量Ate_0.0007 - 0.0402i0.0007 40.0402i-0.0171 4Q.0157i-0.0171- 0.0157i0.86500.8650-0.3442 -0.3621i-0.3442 40.36210.0401- 0.0698i0.0176 -0.0792i0.6682 亠0.2084i0.70500.04010.0698i0.0176 - 0.0792i0.6682 - 0.2084i0.70500.3667 -21.5183ite00000.3667 -21.5183it001.8833 4-4864it001.8833 -8.4864ite*
10、TAte 二-2.1017 -9.2399i-2.1017+ 9.2399i3.7199+ 3.2032i3.7199-3.2032i0.2247 + 0.0000i-2.4502-0.7350-0.0000i3.4167 + 9.7803i13.4167 -9.7803iT 一 =-3.3554 + 3.4224i-3.3554 -3.4224i状态转移矩阵为：-5.5977-4.4097 -0.0000i-12.5772 + 0.0000i-7.2316 + 0.0000i0.3466 -0.2323i0.3466 + 0.2323i0.2886 -0.0353i0.2886 + 0.03
11、53i-0.6477 + 0.0000i0.1999-0.5817 + 0.0000i-29.8835-0.0000i-42.7799-0.0000i-0.4703-0.1054i-0.4703+ 0.1054i0.5337 - 0.2409i0.5337 + 0.2409i0.44930.5509 + 0.0000i-1.4700-0.0000i-1.7127 -0.0000i5可控性与可观性不同于经典控制理论，能控性和能观性， 是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出 量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要能控能观性的提出。但是现代控制理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的，状态方程描述输入 u( t)引起状态x( t)的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出y( t)的变化。能控能观便是定性的描述输入u( t)对状态x(t)的控制能力，输出y(t)对状态x( t)的反应能力，他们分别回答了“输入能否控制状态的变化”-可控性“状态的变化能否有输出反映出来” 可观性可是状态x( t)的值通常是难测的， 往往需要从 y ( t)不能完全反映出系统的状态 x( t)，那么就另外在工程上常用状态变量作为反馈信息， 测
