《小学奥数专题—抽屉原理(一)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数专题—抽屉原理(一)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、小学奥数专项抽屉原理(一）专项简介 把只苹果放到3个抽屉里去,共有种放法(请小朋友们自己列举),不管如何放，必有一种抽屉里至少放进两个苹果。 同样,把5只苹果放到4个抽屉里去,必有一种抽屉里至少放进两个苹果。 更进一步,我们可以得出这样的结论：把n1只苹果放到n个抽屉里去，那么必然有一种抽屉里至少放进两个苹果。这个结论,一般被称为抽屉原理。 运用抽屉原理,可以阐明(证明)许多有趣的现象或结论。但是，抽屉原理不是拿来就能用的，核心是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”,制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。典型例题【例1】一种小组共有13名同窗，其中至少有名同窗同一种月过生
2、日。为什么？【分析与解答】每年里共有12个月，任何一种人的生日，一定在其中的某一种月。如果把这12个月当作12个“抽屉”，把名同窗的生日当作1只“苹果”，把1只苹果放进2个抽屉里，一定有一种抽屉里至少放2个苹果,也就是说,至少有名同窗在同一种月过生日。 【例 2】任意个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？【分析与解答】一方面我们要弄清这样一条规律:如果两个自然数除以3的余数相似,那么这两个自然数的差是的倍数。而任何一种自然数被除的余数，或者是0,或者是1,或者是2，根据这三种状况,可以把自然数提成类,这种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”,根据抽屉原理,
3、必然有一种抽屉里至少有2个数。换句话说,个自然数提成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类,那么这两个数被3除的余数就一定相似。因此，任意4个自然数,至少有2个自然数的差是3的倍数。 想一想,例中4改为7,改为6，结论成立吗?【例】有规格尺寸相似的5种颜色的袜子各只混装在箱内,试问不管如何取,从箱中至少取出多少只就能保证有双袜子（袜子无左、右之分)?【分析与解答】试想一下，从箱中取出只、只袜子,能配成3双袜子吗?回答与否认的。 按5种颜色制作5个抽屉,根据抽屉原理1,只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只,如果再补进2只又成6只,再根据抽屉原理1，又可
4、配成一双拿走。如果再补进2只,又可获得第3双。因此，至少要取6+2=0只袜子,就一定会配成双。思考：能用抽屉原理2,直接得到成果吗?2.把题中的规定改为3双不同色袜子,至少应取出多少只？ .把题中的规定改为3双同色袜子，又如何？【例4】一种布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个,此外尚有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球,才干保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？【分析与解答】从最“不利”的取出状况入手。 最不利的状况是一方面取出的5个球中,有3个是蓝色球、2个绿色球。接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉,由于这三种颜色球相等均超过4个，因此，根据抽屉
5、原理2,只要取出的球数多于(-1）=9个,即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉(同一颜色）里的球。故总共至少应取出10+515个球，才干符合规定。思考：把题中规定改为4个不同色，或者是两两同色,情形又如何？ 当我们遇到“鉴别具有某种事物的性质有无，至少有几种”这样的问题时,想到它抽屉原理,这是你的一条“决胜”之路。 提示 抽屉原理还可以反过来理解：如果把n个苹果放到n个抽屉里,放2个或2个以上苹果的抽屉一种也没有(与“必有一种抽屉放2个或个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，个抽屉最多有n个苹果，与“1个苹果”的条件矛盾。运用抽屉原理的核心是“制造抽屉”
6、。一般，可采用把个“苹果”进行合理分类的措施来制造抽屉。例如，若干个同窗可按出生的月份不同分为2类，自然数可按被3除所得余数分为3类等等。例5 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出枚棋子.请你证明,这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是同样的。【分析与解答】一方面要拟定枚棋子的颜色可以有多少种不同的状况，可以有：3黑，黑白,1黑2白，3白共种配组状况，看作4个抽屉把每人的3枚棋作为一组当作一种苹果,因此共有5个苹果.把每人所拿枚棋子按其颜色配组状况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，因此根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一种抽屉里,也就是她们所拿棋子的颜
7、色配组是同样的。例一副扑克牌（去掉两张王牌）,每人随意摸两张牌,至少有多少人才干保证她们当中一定有两人所摸两张牌的花色状况是相似的?【分析与解答】扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃种花色，2张牌的花色可以有:2张方块,张梅花,2张红桃，2张黑桃，张方块1张梅花，张方块1张黑桃,1张方块1张红桃,1张梅花1张黑桃，张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃合计0种状况把这1种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的成果.因此至少有11个人。例7证明：任取个自然数，必有两个数的差是的倍数。【分析与解答】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余
8、数相似,那么它们的差b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有个自然数，它们除以的余数相似.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数、1、2、6提成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数,根据抽屉原理，必有两个数在同一种抽屉中，也就是它们除以7的余数相似,因此这两个数的差一定是7的倍数。 把所有整数按照除以某个自然数的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用0,，2,，m-表达.每一种类具有无穷多种数，例如1中具有1，m+1,2m+1,3m+1，.在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明:任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。在有些
9、问题中,“抽屉”和“苹果”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“苹果”如何制造“抽屉”和“苹果”也许是很困难的,一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做某些题积累经验。例8 从2、4、6、0这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是3。【分析与解答】我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉： 但凡抽屉中有两个数的，都具有一种共同的特点:这两个数的和是3。 现从题目中的15个偶数中任取9个数,由抽屉原理（由于抽屉只有8个）,必有两个数在同一种抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。例9 从1、2、20这2个自然数中，至少任选几种数,就可以保证其中一定涉及两个数,它
10、们的差是12。【分析与解答】在这0个自然数中,差是的有如下8对： 20,1,18,，17,5，16，4，15,1,2，13,1。此外尚有4个不能配对的数，10,11,2,共制成12个抽屉（每个括号当作一种抽屉)只要有两个数取自同一种抽屉，那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选3个数,即可办到（取1个数：从12个抽屉中各取一种数（例如取1，,，1），那么这1个数中任意两个数的差必不等于12）。例10从1到2这20个数中,任取1个数，必有两个数,其中一种数是另一种数的倍数。【分析与解答】根据题目所规定证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其
11、倍数提成如下十组，当作0个抽屉(显然,它们具有上述性质)：，2,8,6，6，1,5,10，0,7，14,9，1,11,13，15，7,19。从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一种抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,因此这两个数中,其中一种数一定是另一种数的倍数。例11 某校校庆,来了位校友,彼此结识的握手问候.请你证明无论什么状况,在这n个校友中至少有两人握手的次数同样多。【分析与解答】共有位校友，每个人握手的次数至少是0次，即这个人与其她校友都没有握过手；最多有n1次,即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同状况（0，1，n-
12、1）数都是，还无法用抽屉原理。 然而,如果有一种校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一种校友握手的次数是n-1次,那么握手次数至少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、n2，还是后一种状态1、2、1,握手次数都只有n-1种状况.把这n-种状况当作-个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数同样多。例在长度是10厘米的线段上任意取11个点，与否至少有两个点，它们之间的距离不不小于1厘米？【分析与解答】 把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）。 将每段线段当作是
13、一种“抽屉”,一共有1个抽屉。目前将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理,至少有一种抽屉里有两个或两个以上的点(涉及这些线段的端点）。由于这两个点在同一种抽屉里,它们之间的距离固然不会不小于1厘米。 因此，在长度是10厘米的线段上任意取1个点，至少存在两个点,它们之间的距离不不小于1厘米。例3有苹果和桔子若干个,任意提成5堆,能否找到这样两堆,使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【分析与解答】 由于题目只规定判断两堆水果的个数关系,因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。 对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别均有奇数与偶数两种也许,因此每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：
14、 （奇，奇），(奇,偶）,(偶,奇），(偶，偶）, 其中括号中的第一种字表达苹果数的奇偶性,第二个字表达桔子数的奇偶性。将这4种情形当作4个抽屉,既有5堆水果，根据抽屉原理可知,这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，因此在同一种抽屉中的两堆水果,其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。例用红、蓝两种颜色将一种2方格图中的小方格随意涂色(见右图)，每个小方格涂一种颜色。与否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相似？【分析与解答】 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形当作四个“抽屉”。根据抽屉原理，将五列放
15、入四个抽屉,至少有一种抽屉中有不少于两列,这两列的小方格中涂的颜色完全相似。习题1.某校的小学生年龄最小的岁,最大的13岁,从这个学校中任选几位同窗就一定保证其中有两位同窗的年龄相似?中午食堂有5种不同的菜和种不同的主食， 每人只能买一种菜和一种主食, 请你证明某班在食堂买饭的2名学生中，一定至少有两名学生所买的菜和主食是同样的。.证明：任取6个自然数,必有两个数的差是5的倍数。.为了欢迎外宾来校参观,学校准备了红色、黄色、绿色的小旗，每个同窗都左右两手各拿一面彩旗列队迎接外宾.至少有多少位同窗才干保证其中至少有两个人不仅所拿小旗颜色一样，并且（左、右)顺序也相似?5.从10至20这1个自然数中，任取7个数，证明其中一定有两个数之和是29。.从1、2、3
